Question

8．在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），l與C分別交于M，N，P（-2，-4）．
（1）寫出C的平面直角坐標系方程和l的普通方程；
（2）已知|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），即ρ²sin²θ=2aρcosθ（a＞0），把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可得出直角坐標方程．直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程：y=x-2．
（2）點P（-2，-4）在直線l上，可得直線l的標準方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}m}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}m}\end{array}\right.$，代入拋物線方程可得：m²-$（8\sqrt{2}+\sqrt{2}a）$m+4a+32=0，|PM|=m₁，|PN|=m₂，|MN|=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$，由于|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，可得|MN|²=|PM|•|PN|，即可得出．

解答 解：（1）曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），即ρ²sin²θ=2aρcosθ（a＞0），可得直角坐標方程：y²=2ax（a＞0）．

直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），化為普通方程：y=x-2．
（2）點P（-2，-4）在直線l上，可得直線l的標準方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}m}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}m}\end{array}\right.$，代入拋物線方程可得：m²-$（8\sqrt{2}+\sqrt{2}a）$m+4a+32=0，
△=$（8\sqrt{2}+\sqrt{2}a）^{2}$-4（4a+32）=2a²+16a＞0，（a＞0）．
∴m₁+m₂=$8\sqrt{2}+\sqrt{2}a$，m₁m₂=4a+32．
|PM|=m₁，|PN|=m₂，|MN|=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$=$\sqrt{（8\sqrt{2}+\sqrt{2}a）^{2}-4（4a+32）}$=$\sqrt{2{a}^{2}+16a}$．
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，
∴|MN|²=|PM|•|PN|，
∴2a²+16a=m₁m₂=4a+32，化為：a²+6a-16=0，a＞0，
解得a=2．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程及其應用、弦長公式、等比數(shù)列的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．