已知拋物線C：x2=y和定點P(1，2)，A，B為拋物線C上的兩個動點，且直線PA和PB的斜率為非零的互為相反數(shù)。
(Ⅰ)求證：直線AB的斜率是定值；
(Ⅱ)若拋物線C在A，B兩點處的切線相交于點M，求M的軌跡方程；
(Ⅲ)若A′與A關于y軸成軸對稱，求直線A′B與y軸交點P的縱坐標的取值范圍．
解：(Ⅰ)設點A（xA，yA），B（xB，yB）(xA≠xB)，直線PA的斜率為k(k≠0)，則直線PB的斜率為-k，
∴PA的直線方程為y-2=k(x-2)，
由消y，得，
因為點P在曲線C上，所以，由韋達定理，得，，
∴，同理，
則。
(Ⅱ)設點M(x，y)，則由y=2x2，得y′=4x，
所以直線M的方程為：y-yA=4xA(x-xA)，①
同理直線MB的方程為：y-yB=4xB(x-xB)，②
由①②，得，③
把③代入①整理，得，
所以，動點M的軌跡方程為x=-1（y＜2）。
(Ⅲ)由已知，，
∴，
則直線A′B的方程為，
即，
令x=0，整理得，
即直線A′B與y軸交點P的縱坐標取值范圍是（-∞，2）。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=2py（p＞0），其焦點F到準線的距離為
12
．
（1）試求拋物線C的方程；
（2）設拋物線C上一點P的橫坐標為t（t＞0），過P的直線交C于另一點Q，交x軸于M，過點Q作PQ的垂線交C于另一點N，若MN是C的切線，求t的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=
12
y和定點P（1，2），A、B為拋物線C上的兩個動點，且直線PA和PB的斜率為非零的互為相反數(shù)．
（I）求證：直線AB的斜率是定值；
（II）若拋物線C在A、B兩點處的切線相交于點M，求M的軌跡方程；
（III）若A′與A關于y軸成軸對稱，求直線A′B與y軸交點P的縱坐標的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=2py，過點A（0，4）的直線l交拋物線C于M，N兩點，且OM⊥ON．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點N作y軸的平行線與直線y=-4相交于點Q，若△MNQ是等腰三角形，求直線MN的方程．K．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=ay（a＞0），斜率為k的直線l經(jīng)過拋物線的焦點F，交拋物線于A，B兩點，且拋物線上一點M(2
2
 ， m) (m＞1)到點F的距離是3．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若k＞0，且
AF
=3
FB
，求k的值．
（Ⅲ）過A，B兩點分別作拋物線的切線，這兩條切線的交點為點Q，求證：
AB
 • 
FQ
=0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=2my（m＞0）和直線l：y=x-m沒有公共點（其中m為常數(shù)）．動點P是直線l上的任意一點，過P點引拋物線C的兩條切線，切點分別為M、N，且直線MN恒過點Q（1，1）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知O點為原點，連接PQ交拋物線C于A、B兩點，求
|PA|
|
PB|
-
|
QA|
|
QB|
的值．

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