Question

已知函數(shù)f(x)=-

1

2

x2-tlnx+(t+1)x
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）若t＜0，不等式tx²+2t²lnx-2t（t+1）x+1≤0對x＞0恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令f′′（x）=0，解得x的值，討論f′′（x）＞0時，f（x）增，f′′（x）＜0時，f（x）減；
（2）不等式tx²+2t²lnx-2t（t+1）x+1≤0可化為-2t[-

1

2

x2-tlnx+(t+1)x]≤-1，由f(x)=-

1

2

x2-tlnx+(t+1)x，得f(x)≤

1

2t

；
即f（x）在（0，+∞）上的最大值f（x）_max≤

1

2t

，求出t的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=-

1

2

x2-tlnx+(t+1)x，定義域為（0，+∞）；
∴f′(x)=-x-

t

x

+t+1=-

x2-(t+1)x+t

x

；
令f′′（x）=0，則x=1或x=t；
①當t≤0時，有x∈（0，1）時，f′′（x）＞0，
x∈（1，+∞）時，f′′（x）＜0；
∴f（x）的增區(qū)間是（0，1），減區(qū)間是（1，+∞）；
②當0＜t＜1時，有x∈（0，t）時，f′′（x）＜0，
x∈（t，1）時，f′′（x）＞0，x∈（1，+∞）時，f′′（x）＜0；
∴f（x）的增區(qū)間是（t，1），減區(qū)間是（0，t）和（1，+∞）；
③當t=1時，有x∈（0，+∞）時，f′′（x）≤0；
∴f（x）的減區(qū)間是（0，+∞）
④當t＞1時，有x∈（0，1）時，f′′（x）＜0，
x∈（1，t）時，f′′（x）＞0，x∈（t，+∞）時，f′′（x）＜0；
∴f（x）的增區(qū)間（1，t），減區(qū)間（0，1）和（t，+∞）；
（2）∵不等式tx²+2t²lnx-2t（t+1）x+1≤0，
∴-2t[-

1

2

x2-tlnx+(t+1)x]≤-1；
又∵函數(shù)f(x)=-

1

2

x2-tlnx+(t+1)x，∴f(x)≤

1

2t

；
由t＜0時，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)；
∴f（x）在（0，+∞）上的最大值是f（x）_max=f（1）；
∴

1

2t

≥f(x)max=f(1)=t+

1

2

；
即2t²+t-1≥0，解得t≤-1或t≥

1

2

，
又t＜0，∴t≤-1；
∴t的取值范圍是{t|t≤-1}．

點評：本題考查了應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)的最值問題，解不等式恒成立問題，是易錯題．