Question

【題目】【2018廣東深圳市高三第一次調(diào)研考試】已知函數(shù)．

（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（II）當(dāng)時，關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）．

【解析】試題分析：(1)求出的定義域以及導(dǎo)函數(shù)，分四種情況討論的范圍，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；(2) ，等價于，討論的范圍，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分別令求出函數(shù)的最小值，令最小值大于零，可篩選出符合題意的的取值范圍.

試題解析：(1) 的定義域為.

.

由， ，得， .

①當(dāng)時， ，在時， ；在時， ，

所以在單調(diào)遞減， 在單調(diào)遞增；

②當(dāng)時， ，在時， ；在時， ；在時， .所以在， 單調(diào)遞增， 在單調(diào)遞減；

③當(dāng)時， 在上恒成立，所以在單調(diào)遞增；

④當(dāng)時， .在時， ；在時， ；在時， ，所以在， 單調(diào)遞增， 在單調(diào)遞減；

(2)當(dāng)時， ， ，即.

設(shè)， ，只需，在上恒成立即可.

因為， .

又，所以.

令，得.

當(dāng)時， ，在上，故單調(diào)遞增，

所以恒成立；

當(dāng)時， ，即，故.

故當(dāng)時， ，當(dāng)時， ，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減.

又，所以在上，與題設(shè)矛盾.

當(dāng)時， ，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減.

又，所以在上，與題設(shè)矛盾.

綜上， .