在△ABC中,sinB+sinC=sin(A-C).
(1)求A的大;
(2)若BC=3,求△ABC的周長(zhǎng)l的最大值.
分析:(1)將sinB+sinC=sin(A-C)變形得sinC(2cosA+1)=0,得到cosA=
-,故A=
.
(2)記B=θ,則C=
-θ(0<θ<
),由正弦定理得
,△ABC的周長(zhǎng)l=2
sin(θ+
)+3,
由正弦函數(shù)的值域求得其最大值.
解答:解:(1)將sinB+sinC=sin(A-C)變形得sinC(2cosA+1)=0,
而sinC≠0,則cosA=
-,又A∈(0,π),于是A=
;
(2)記B=θ,則C=
-θ(0<θ<
),由正弦定理得
,
則△ABC的周長(zhǎng)l=2
[sinθ+sin(
-θ)]+3=2
sin(θ+
)+3≤2
+3,
當(dāng)且僅當(dāng)θ=
時(shí),周長(zhǎng)l取最大值2
+3.
點(diǎn)評(píng):本題考查兩角差的正弦公式,根據(jù)三角函數(shù)的值求角,正弦定理的應(yīng)用,正弦函數(shù)的值域,得到△ABC的周長(zhǎng)l=
2
sin(θ+
)+3,是解題的關(guān)鍵.