Question

（2012•天津）已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1-a

2

x²-ax-a，x∈R，其中a＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=1時，設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最大值為M（t），最小值為m（t）．記g（t）=M（t）-m（t），求函數(shù)g（t）在區(qū)間[-3，-1]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＞0，可得函數(shù)的遞增區(qū)間；令f′（x）＜0，可得單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由（1）知函數(shù)在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，從而函數(shù)在（-2，0）內(nèi)恰有兩個零點，由此可求a的取值范圍；
（3）a=1時，f（x）=

1

3

x3-x-1，由（1）知，函數(shù)在（-3，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增，再進(jìn)行分類討論：①當(dāng)t∈[-3，-2]時，t+3∈[0，1]，-1∈[t，t+3]，f（x）在[t，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，t+3]上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在[t，t+3]上的最大值為M（t）=f（-1）=-

1

3

，而最小值m（t）為f（t）與f（t+3）中的較小者，從而可得g（t）在[-3，-2]上的最小值；②當(dāng)t∈[-2，-1]時，t+3∈[1，2]，-1，1∈[t，t+3]，比較f（-1），f（1），f（t），f（t+3）的大小，從而可確定函數(shù)g（t）在區(qū)間[-3，-1]上的最小值．

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=（x+1）（x-a），令f′（x）=0，可得x₁=-1，x₂=a＞0
令f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞a；令f′（x）＜0，可得-1＜x＜a
故函數(shù)的遞增區(qū)間為（-∞，-1），（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，a，）
（2）由（1）知函數(shù)在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，從而函數(shù)在（-2，0）內(nèi)恰有兩個零點，
∴

f(-2)＜0 f(-1)＞0 f(0)＜0

，∴

- 2 3 -a＜0 1 6 - a 2 ＞0 -a＜0

，∴0＜a＜

1

3

∴a的取值范圍為(0，

1

3

)；
（3）a=1時，f（x）=

1

3

x3-x-1，由（1）知，函數(shù)在（-3，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增
①當(dāng)t∈[-3，-2]時，t+3∈[0，1]，-1∈[t，t+3]，f（x）在[t，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，t+3]上單調(diào)遞減
因此函數(shù)在[t，t+3]上的最大值為M（t）=f（-1）=-

1

3

，而最小值m（t）為f（t）與f（t+3）中的較小者
由f（t+3）-f（t）=3（t+1）（t+2）知，當(dāng)t∈[-3，-2]時，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f（t），所以g（t）=f（-1）-f（t）
而f（t）在[-3，-2]上單調(diào)遞增，因此f（t）≤f（-2）=-

5

3

，所以g（t）在[-3，-2]上的最小值為g(-2)=-

1

3

-(-

5

3

)=

4

3

②當(dāng)t∈[-2，-1]時，t+3∈[1，2]，-1，1∈[t，t+3]，下面比較f（-1），f（1），f（t），f（t+3）的大�。�
由f（x）在[-2，-1]，[1，2]上單調(diào)遞增，有
f（-2）≤f（t）≤f（-1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）
∵f（1）=f（-2）=-

5

3

，f（-1）=f（2）=-

1

3

∴M（t）=f（-1）=-

1

3

，m（t）=f（1）=-

5

3

∴g（t）=M（t）-m（t）=

4

3

綜上，函數(shù)g（t）在區(qū)間[-3，-1]上的最小值為

4

3

．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確求導(dǎo)與分類討論是解題的關(guān)鍵．