Question

8．某知識(shí)問答活動(dòng)中，題庫(kù)系統(tǒng)有60%的題目屬于A類型問題，40%的題目屬于B類型問題（假設(shè)題庫(kù)中的題目總數(shù)非常大），現(xiàn)需要抽取3道題目作為比賽用題，有兩種抽取方法：方法一是直接從題庫(kù)中隨機(jī)抽取3道題目，方法二是先在題庫(kù)中按照分層抽樣的方法抽取10道題目作為樣本，再?gòu)倪@10個(gè)題目中任意抽取3道題目．
（1）兩種方法抽取的3道題目中，恰好有1道A類型問題和2道B型問題的概率是否相同？若相同，說明理由即可，若不同，分別計(jì)算出兩種抽取方法的概率是多少．
（2）已知抽取的3道題目恰好有1道A類型問題和2道B型問題，現(xiàn)以搶答題的形式由甲乙兩人進(jìn)行比賽，采取三局兩勝制，甲擅長(zhǎng)A類型問題，乙擅長(zhǎng)B類型問題，根據(jù)以往的比賽數(shù)據(jù)表明，若出A類型問題，甲勝過乙的概率為$\frac{3}{4}$，若出B類型問題，乙勝過甲的概率為$\frac{2}{3}$，設(shè)甲勝過乙的題目數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望，并指出甲勝過乙的概率．

Answer 1

分析 （1）兩種抽取方法得到的概率不同．對(duì)于方法1，每抽取一道題，抽到A類型問題的概率均為$\frac{3}{5}$，抽到B型問題的概率均為$\frac{2}{5}$，由此能求出抽取三道題目恰好有1道A類型問題和2道B型問題的概率；對(duì)于方法2，按照分層抽樣抽取的10道題目中有6道A類型問題和4道B類型問題，由此能求出從中再抽取3道題目恰好有1道A類型問題和2道B型問題的概率．
（2）由題意，X可以取0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列、數(shù)學(xué)期望值及甲勝過乙的概率．

解答 解：（1）兩種抽取方法得到的概率不同．
對(duì)于方法1，由于題庫(kù)中題目總數(shù)非常大，
可以認(rèn)為每抽取一道題，抽到A類型問題的概率均為$\frac{3}{5}$，抽到B型問題的概率均為$\frac{2}{5}$，
所以抽取三道題目恰好有1道A類型問題和2道B型問題的概率為$C_3^1（\frac{3}{5}）{（\frac{2}{5}）^2}=\frac{36}{125}$
對(duì)于方法2，按照分層抽樣抽取的10道題目中有6道A類型問題和4道B類型問題，
從中再抽取3道題目恰好有1道A類型問題和2道B型問題的概率為$\frac{C_6^1C_4^2}{{C_{10}^3}}=\frac{12}{35}$．
（2）由題意，X可以取0，1，2，3，
$P（X=0）=\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{1}{9}$，
$P（X=1）=\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{4}{9}$，
$P（X=2）=\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{13}{36}$，
$P（X=3）=\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{3}{36}$，
所以X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{3}{36}$

X的數(shù)學(xué)期望值$E（X）=0×\frac{1}{9}+1×\frac{4}{9}+2×\frac{13}{36}+3×\frac{3}{36}=\frac{51}{36}$，
甲勝過乙的概率為$P（X=2）+P（X=3）=\frac{13}{36}+\frac{3}{36}=\frac{4}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．