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8.某知識(shí)問答活動(dòng)中,題庫(kù)系統(tǒng)有60%的題目屬于A類型問題,40%的題目屬于B類型問題(假設(shè)題庫(kù)中的題目總數(shù)非常大),現(xiàn)需要抽取3道題目作為比賽用題,有兩種抽取方法:方法一是直接從題庫(kù)中隨機(jī)抽取3道題目,方法二是先在題庫(kù)中按照分層抽樣的方法抽取10道題目作為樣本,再?gòu)倪@10個(gè)題目中任意抽取3道題目.
(1)兩種方法抽取的3道題目中,恰好有1道A類型問題和2道B型問題的概率是否相同?若相同,說明理由即可,若不同,分別計(jì)算出兩種抽取方法的概率是多少.
(2)已知抽取的3道題目恰好有1道A類型問題和2道B型問題,現(xiàn)以搶答題的形式由甲乙兩人進(jìn)行比賽,采取三局兩勝制,甲擅長(zhǎng)A類型問題,乙擅長(zhǎng)B類型問題,根據(jù)以往的比賽數(shù)據(jù)表明,若出A類型問題,甲勝過乙的概率為34,若出B類型問題,乙勝過甲的概率為23,設(shè)甲勝過乙的題目數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望,并指出甲勝過乙的概率.

分析 (1)兩種抽取方法得到的概率不同.對(duì)于方法1,每抽取一道題,抽到A類型問題的概率均為35,抽到B型問題的概率均為25,由此能求出抽取三道題目恰好有1道A類型問題和2道B型問題的概率;對(duì)于方法2,按照分層抽樣抽取的10道題目中有6道A類型問題和4道B類型問題,由此能求出從中再抽取3道題目恰好有1道A類型問題和2道B型問題的概率.
(2)由題意,X可以取0,1,2,3,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出X的分布列、數(shù)學(xué)期望值及甲勝過乙的概率.

解答 解:(1)兩種抽取方法得到的概率不同.
對(duì)于方法1,由于題庫(kù)中題目總數(shù)非常大,
可以認(rèn)為每抽取一道題,抽到A類型問題的概率均為35,抽到B型問題的概率均為25,
所以抽取三道題目恰好有1道A類型問題和2道B型問題的概率為C1335252=36125
對(duì)于方法2,按照分層抽樣抽取的10道題目中有6道A類型問題和4道B類型問題,
從中再抽取3道題目恰好有1道A類型問題和2道B型問題的概率為C16C24C310=1235
(2)由題意,X可以取0,1,2,3,
PX=0=14×23×23=19,
PX=1=34×23×23+14×13×23+14×23×13=49,
PX=2=34×13×23+34×23×13+14×13×13=1336,
PX=3=34×13×13=336,
所以X的分布列為:

X0123
P19491336336
X的數(shù)學(xué)期望值EX=0×19+1×49+2×1336+3×336=5136,
甲勝過乙的概率為PX=2+PX=3=1336+336=49

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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