Question

已知△ABC中，AC=1，∠ABC=

2π

3

，∠BAC=x，記f（x）=

AB

•

BC

．
（1）求f（x）解析式并標(biāo)出其定義域；
（2）設(shè)g（x）=6mf（x）+1，若g（x）的值域?yàn)椋?，

3

2

]，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用正弦定理可得BC，AB，再利用數(shù)量積運(yùn)算可得f（x），利用三角形的內(nèi)角和定理可得其定義域；
（2）對(duì)m分類討論，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）由正弦定理有：

BC

sinx

=

1

sin 2π 3

=

AB

sin( π 3 -x)

；
∴BC=

1

sin 2π 3

sinx，AB=

sin( π 3 -x)

sin 2π 3

；
∴f(x)=

AB

•

BC

=

4

3

sinx•sin(

π

3

-x)•

1

2

=

2

3

(

3

2

cosx-

1

2

sinx)sinx
=

1

3

sin(2x+

π

6

)-

1

6

，
∵0＜x＜π-

2π

3

，∴0＜x＜

π

3

，即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?span id="agedrr4" class="MathJye">(0，

π

3

)．
（2）g（x）=6mf（x）+1=2msin(2x+

π

6

)-m+1(0＜x＜

π

3

)，
∵x∈(0，

π

3

)，∴

π

6

＜2x+

π

6

＜

5π

6

，則sin(2x+

π

6

)∈(

1

2

，1]．
當(dāng)m＞0時(shí)，g(x)=2msin(2x+

π

6

)-m+1的值域?yàn)椋?，m+1]．
又g（x）的值域?yàn)?span id="dhmdqnt" class="MathJye">(1，

3

2

]，解得  m=

1

2

；
當(dāng)m＜0時(shí)，g(x)=2msin(2x+

π

6

)-m+1的值域?yàn)閇m+1，1）．
此時(shí)m的值不存在．
綜上可得：m=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦定理、數(shù)量積運(yùn)算、三角形的內(nèi)角和定理、正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．