Question

18．已知點P在△ABC內(nèi)（不含邊界），且$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，則$\frac{y+1}{x+2}$的取值范圍為（　　）

• A． （$\frac{1}{3}$，1）
• B． （$\frac{1}{2}$，1）
• C． （$\frac{2}{3}$，1）
• D． （$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 由條件及向量加法的平行四邊形法則、向量數(shù)乘的幾何意義便可得出x，y∈（0，1），并且有y趨向1時，x趨向0，而y趨向0時，x趨向1，而對于$\frac{y+1}{x+2}$：y越大，x越小時其值越大，反之越小，這樣便可得出$\frac{1}{3}＜\frac{y+1}{x+2}＜1$，即得出$\frac{y+1}{x+2}$的取值范圍．

解答 解：如圖，
根據(jù)條件及$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$得：0＜x＜1，0＜y＜1；
∴y越大，x越小時，$\frac{y+1}{x+2}$越大，且y趨向1時，x趨向0；
∴$\frac{y+1}{x+2}＜\frac{1+1}{0+2}=1$；
同樣，y越小，x越大時，$\frac{y+1}{x+2}$越小，且y趨向0時，x趨向1；
∴$\frac{y+1}{x+2}＞\frac{0+1}{1+2}=\frac{1}{3}$；
∴$\frac{1}{3}＜\frac{y+1}{x+2}＜1$；
即$\frac{y+1}{x+2}$的取值范圍為$（\frac{1}{3}，1）$．
故選：A．

點評 考查向量加法的平行四邊形法則，以及向量數(shù)乘的幾何意義，能判斷x，y取值對$\frac{y+1}{x+2}$取值的影響．