Question

已知M是拋物線(xiàn)y²=4x上的一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，線(xiàn)段MF的中點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為2，則|PF|=

2

．

Answer 1

分析：設(shè)M在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)x=-1上的射影為M′，利用拋物線(xiàn)的定義，拋物線(xiàn)y²=4x上的一點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F（1，0）的距離|MF|=|MM′|，結(jié)合梯形中位線(xiàn)的性質(zhì)即可求得|PF|．

解答：解：依題意，設(shè)M在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)x=-1上的射影為M′，線(xiàn)段MF的中點(diǎn)P在y軸上的射影為P′，在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)x=-1上的射影為P″，作圖如下：

∵拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1，設(shè)F在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為F′，則|FF′|=2；
依題意PP″為梯形FF′M′M的中位線(xiàn)，
∵|PP′|=2，
∴|PP″|=2-（-1）=3，
又|FF′|=2，
∴2|PP″|=|FF′|+|MM′|，即2×3=2+|MM′|，
∴|MM′|=4，又|MF|=|MM′|，
∴|MF|=4，又P為MF的中點(diǎn)，
∴|PF|=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)與梯形中位線(xiàn)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算推理能力，屬于中檔題．