Question

9．已知函數(shù)f（x）=[2sin（x+$\frac{2π}{3}$）+sinx]cosx-$\sqrt{3}$sin²x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若實數(shù)t∈[0，$\frac{5π}{12}$]，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）先利用降冪公式進行化簡，然后利用輔助角公式將f（x）化成$\sqrt{3}$cos2x，最后根據(jù)余弦函數(shù)的對稱性求出對稱軸方程即可；
（2）根據(jù)t的范圍，求出2t的范圍，再結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=[2sin（x+$\frac{2π}{3}$）+sinx]cosx-$\sqrt{3}$sin²x
=[2（sinxcos$\frac{2π}{3}$+cosxsin$\frac{2π}{3}$）+sinx]cosx-$\sqrt{3}$sin²x
=[-sinx+$\sqrt{3}$cosx+sinx]cosx-$\sqrt{3}$sin²x
=$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$sin²x
=$\sqrt{3}$cos2x，
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
（2）當t∈[0，$\frac{5}{12}$π]時，2t∈[0，$\frac{5}{6}$π]，
從而f（t）∈[-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]，即f（x）的值域是[-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．

點評 本題主要考查了余弦函數(shù)的對稱性，以及余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．