Question

四面體ABCD及其三視圖如圖所示，平行于棱AD，BC的平面分別交四面體的棱AB、BD、DC、CA于點E、F、G、H．
（Ⅰ）求四面體ABCD的體積；
（Ⅱ）證明：四邊形EFGH是矩形．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì),棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明AD⊥平面BDC，即可求四面體ABCD的體積；
（Ⅱ）證明四邊形EFGH是平行四邊形，EF⊥HG，即可證明四邊形EFGH是矩形．

解答： （Ⅰ）解：由題意，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD=DC=2，AD=1，
∴AD⊥平面BDC，
∴四面體ABCD的體積V=

1

3

×

1

2

×2×2×1=

2

3

；
（Ⅱ）證明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC=FG，平面EFGH∩平面ABC=EH，
∴BC∥FG，BC∥EH，
∴FG∥EH．
同理EF∥AD，HG∥AD，
∴EF∥HG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵AD⊥平面BDC，
∴AD⊥BC，
∴EF⊥FG，
∴四邊形EFGH是矩形．

點評：本題考查線面垂直，考查線面平行性質(zhì)的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．