Question

某企業(yè)有A、B兩種型號(hào)的家電產(chǎn)品參加家電下鄉(xiāng)活動(dòng)，若企業(yè)投放A、B兩種型號(hào)家電產(chǎn)品的價(jià)值分別為a、b萬(wàn)元，則農(nóng)民購(gòu)買(mǎi)家電產(chǎn)品獲得的補(bǔ)貼分別為tlna萬(wàn)元、

1

10

b萬(wàn)元（t＞0且為常數(shù)）．已知該企業(yè)投放總價(jià)值為100萬(wàn)元的A、B兩種型號(hào)的家電產(chǎn)品，且A、B兩種型號(hào)的投放金額都不低于10萬(wàn)元．
（1）請(qǐng)你選擇自變量，將這次活動(dòng)中農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼表示為它的函數(shù)，并求其定義域；
（2）問(wèn)A、B兩種型號(hào)的家電產(chǎn)品各投放多少萬(wàn)元時(shí)，農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼最多？

Answer 1

分析：（1）先投放A型產(chǎn)品的金額的x萬(wàn)元，則投放B型產(chǎn)品的金額為（100-x）萬(wàn)元，根據(jù)農(nóng)民購(gòu)買(mǎi)家電產(chǎn)品獲得的補(bǔ)貼分別為tlna萬(wàn)元、

1

10

b萬(wàn)元（t＞0且為常數(shù)），即可得到農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼的函數(shù)解析式；
（2）對(duì)于（1）中求得的函數(shù)，取導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論確定單調(diào)性，從而可求其最大值．

解答：解：（1）設(shè)投放A型產(chǎn)品的金額的x萬(wàn)元，則投放B型產(chǎn)品的金額為（100-x）萬(wàn)元，
農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼f（x）=tlnx+

1

10

(100-x)=tlnx-

1

10

x+10
∵x≥10，100-x≥10，∴10≤x≤90，∴其定義域?yàn)閇10，90]；
（2）f′（x）=

t

x

-

1

10

=

10t-x

10x

（10≤x≤90，t＞0），令f′（x）=0，得x=10t
1°若10t≤10，即0＜t≤1，則f′（x）≤0，∴f（x）在[10，90]為減函數(shù)，當(dāng)x=10時(shí)，f（x）有最大值；
2°若10＜10t＜90，即1＜t＜9，則f（x）在[10，10t]是增函數(shù)，在[10t，90]是減函數(shù)，當(dāng)x=10t時(shí)，f（x）有最大值；
3°若10t≥90即t≥9，f′（x）≥0，則f（x）在[10，90]是增函數(shù)，∴當(dāng)x=90時(shí)，f（x）有最大值．
因此，當(dāng)0＜t≤1時(shí)，投放A型產(chǎn)品10萬(wàn)元，投放B型產(chǎn)品90萬(wàn)元；當(dāng)1＜t＜9時(shí)，投放A型產(chǎn)品10t萬(wàn)元，投放B型產(chǎn)品（100-10t）萬(wàn)元；當(dāng)t≥9時(shí)，投放A型產(chǎn)品90萬(wàn)元，投放B型產(chǎn)品10萬(wàn)元，農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼最大．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，分類(lèi)討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．