Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+2x
（1）判斷f（x）的單調(diào)性并用定義證明；
（2）設g(x)=ln

x+2

x-2

，若對任意x₁∈（0，1），存在x₂∈（k，k+1）（k∈N），使f（x₁）＜g（x₂），求實數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)的定義域，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明．（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求實數(shù)k的最大值．

解答：解：（1）增函數(shù)     …（1分）
因為函數(shù)的定義域為（0，+∞），
設x₁＞x₂＞0…（2分）
則f（x₁）-f（x₂）=lnx₁-lnx₂+2（x₁-x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)      …（4分）
（2）由（1）知f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)
∴f（x₁）＜f（1）=2…（6分）
令g（x₂）≥2即ln

x2+2

x2-2

≥2即x2+2≥e2(x2-2)
得x2≤

2e2+2

e2-1

=

2(e2-1)+4

e2-1

=2+

4

e2-1

∵2+

4

e2-1

∈(2，3)…（8分）
∴k_max=2…（10分）

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用定義法是判斷函數(shù)單調(diào)性中比較常用的方法．