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10.在△ABC中,已知內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知m=(cosB,cosC),n=(2a+c,b)且mn
(1)若b=13,a+c=4,求△ABC的面積.
(2)y=sin2A+sin2C的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式進(jìn)行化簡求出B的大小,結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.
(2)利用三角函數(shù)的倍角公式結(jié)合兩角和差的正弦公式,以及三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

解答 解:(1)∵mn,
mn=cosB(2a+c)+bcosC=0,
即2acosB+ccosB+bcosC=0,
由正弦定理得2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0,
即2sinAcosB+sin(B+C)=0,
即2sinAcosB+sinA=0,
∴2cosB+1=0,則cosB=-12
則B=2π3,
若b=13,a+c=4,
則b2=a2+c2-2accosB,
即13=(a+c)2-2ac+ac=16-ac,
則ac=3,
則△ABC的面積S=12acsinB=12×3×32=334
(2)∵B=2π3,∴A+C=π3,A=π3-C,
則0<C<π3,
sin2A+sin2C=1cos2A2+1cos2C2
=1-12×2cos(A+C)cos(A-C)
=1-12cos(A-C)
=1-12cos(π3-2C),
∵0<C<π3,
∴0<2C<2π3,
則-2π3<-2C<0,-π3π3-2C<π3,
12<cos(π3-2C)≤1,
1412cos(π3-2C)≤12,
則-12≤-12cos(π3-2C)<14
12≤1-12cos(π3-2C)<34
∴sin2A+sin2C的取值范圍是[12,34).

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理、倍角公式、和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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