Question

8．已知數(shù)列{a_n}，滿足a₁=1，3（a₁+a₂+a₃+…+a_n）=（n+2）a_n對任意正整數(shù)n都成立，則a₄=10．

Answer 1

分析 由題意可得3S_n=（n+2）a_n，當n≥2時得3S_n-1=（n+1）a_n-1，兩式相減后化簡，利用累積法求出數(shù)列的通項公式，即可求出a₄的值．

解答 解：∵3（a₁+a₂+a₃+…+a_n）=（n+2）a_n，
∴3S_n=（n+2）a_n，①
當n≥2時，3S_n-1=（n+1）a_n-1，②
①-②得，3a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1，
化簡得，（n+1）a_n-1=（n-1）a_n，則$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n+1}{n-1}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{3}{1}$、$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{4}{2}$、$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{5}{3}$、…、$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n+1}{n-1}$，
以上n-1個式子相乘得，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\frac{n（n+1）}{1×2}$，
又a₁=1，則a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴a₄=$\frac{4×5}{2}$=10，
故答案為：10．

點評 本題考查了數(shù)列遞推公式的化簡與應用，數(shù)列的前n項和與通項的關系，以及累積法求出數(shù)列的通項公式，考查化簡、變形能力．