Question

已知函數(shù)f（x）=x-1+

a

ex

（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a；
（Ⅱ）求f（x）的極值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，由兩直線平行的條件得，f′（1）=0，即可求出a；
（2）求出導數(shù)，對a討論，分a≤0，a＞0，求出單調(diào)區(qū)間，即可得到函數(shù)的極值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=x-1+

a

ex

的導數(shù)f′（x）=1-

a

ex

，
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，
∴f′（1）=0，即1-

a

e

=0，
∴a=e；
（2）導數(shù)f′（x）=1-

a

ex

，
①當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）是R上的增函數(shù)，無極值；
②當a＞0時，e^x＞a時即x＞lna，f′（x）＞0；
e^x＜a，即x＜lna，f′（x）＜0，
故x=lna為f（x）的極小值點，且極小值為lna-1+1=lna，無極大值．
綜上，a≤0時，f（x）無極值；a＞0時，f（x）有極小值lna，無極大值．

點評：本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用，求切線方程和求極值，同時考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．