Question

（文） 已知四邊形OABC為直角梯形，∠AOC=∠OAB=90°，PO⊥平面AC，且OA=3，AB=6，OC=2，PO=3．
（1）求證：AB⊥PA；
（2）求異面直線PB與OA所成的角θ（用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

證明：（1）以O(shè)的坐標原點，OA，OC，OP方向分別為x，y，z軸正方向建立空間坐標系
∵OA=3，AB=6，OC=2，PO=3
∴A（3，0，0），B（3，6，0），P（0，0，3）
∴=（0，6，0），=（3，0，-3）
∵•=0
∴⊥
即AB⊥PA；
解：（2）∵=（3，6，-3），=（3，0，0），
則異面直線PB與OA所成的角θ滿足
cosθ===
∴．
分析：（1）以O(shè)的坐標原點，OA，OC，OP方向分別為x，y，z軸正方向建立空間坐標系，分別求出AB與PA的方向向量的坐標，根據(jù)兩向量的數(shù)量積為0，即可判斷出AB⊥PA；
（2）分別求出異面直線PB與OA的方向向量的坐標，代入向量夾角公式，求出θ的余弦值，進而得到異面直線PB與OA所成的角θ．
點評：本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，其中建立空間坐標系，將線面垂直問題及線線夾角問題轉(zhuǎn)化為向量垂直及向量夾角問題是解答的關(guān)鍵．