分析 設(shè)出兩曲線的公共點(diǎn)坐標(biāo),分別求出f(x)和g(x)的導(dǎo)函數(shù),把設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩導(dǎo)函數(shù)中得到兩關(guān)系式,聯(lián)立兩關(guān)系式即可解出公共點(diǎn)的橫坐標(biāo),把求出的橫坐標(biāo)代入得到用m表示出n的式子,設(shè)h(t)等于表示出的式子,求出h(t)的導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)大于0求出t的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間,令導(dǎo)函數(shù)小于0求出t的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的增減性即可求出h(t)的最大值即為n的最大值.
解答 解:設(shè)y=f(x)與y=g(x)(x>0)在公共點(diǎn)(x0,y0)處的切線相同.
f(x)=2mx+12x2的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=x+2m,
g(x)=n+3m2lnx的導(dǎo)數(shù)為g′(x)=3m2x,
由題意f(x0)=g(x0),f'(x0)=g'(x0).
即2mx0+12x02=3m2lnx0+n,x0+2m=3m2x0,
由x0+2m=3m2x0,解得x0=m,或x0=-3m(舍去).
即有n=12m2+2m2-3m2lnm=52m2-3m2lnm,
令h(t)=52t2-3t2lnt(t>0),則h'(t)=2t(1-3lnt).
于是當(dāng)t(1-3lnt)>0,即0<t<e13時(shí),h'(t)>0;
當(dāng)t(1-3lnt)<0,即t>e13時(shí),h'(t)<0.
故h(t)在(0,e13)為增函數(shù),在(e13,+∞)為減函數(shù),
于是h(t)在(0,+∞)的最大值為h(e13)=52e23-e23=32e23.
則n的最大值為32e23.
故答案為:32e23.
點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值,考查轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用和構(gòu)造函數(shù)法,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 4mf(m+1)m+1>2√mf(2√m)>(m+1)f(4mm+1) | B. | 4mf(m+1)m+1<2√mf(2√m)<(m+1)f(4mm+1) | ||
C. | 2√mf(2√m)>4mf(m+1)m+1>(m+1)f(4mm+1) | D. | 2√mf(2√m)<4mf(m+1)m+1<(m+1)f(4mm+1) |
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