Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），過F₂作垂直于x軸的直線l₁交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且滿足|AF₁|=7|AF₂|
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）過F₁作斜率為1的直線l₂交C于M，N兩點(diǎn)．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OMN的面積為$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推導(dǎo)出|AF₁|=$\frac{7a}{4}$，|AF₂|=$\frac{a}{4}$，再由勾股定理得到得（$\frac{7a}{4}$）²-（$\frac{a}{4}$）²=4c²，由此能求出橢圓C的離心率．
（Ⅱ）橢圓方程化為x²+4y²=b²，直線l為：y=x+$\sqrt{3}b$，聯(lián)立可得$5{x}^{2}+8\sqrt{3}bx+8^{2}$=0，由此利用韋達(dá)定理、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出橢圓C的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
過F₂作垂直于x軸的直線l₁交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且滿足|AF₁|=7|AF₂|，
∴由|AF₁|+|AF₂|=2a，|AF₁|=7|AF₂|，
解得|AF₁|=$\frac{7a}{4}$，|AF₂|=$\frac{a}{4}$，…（2分）
直角△AF₁F₂中，由勾股定理得（$\frac{7a}{4}$）²-（$\frac{a}{4}$）²=4c²，
∴橢圓C的離心率$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（4分）
（Ⅱ）橢圓方程化為x²+4y²=b²，直線l為：y=x+$\sqrt{3}b$，
聯(lián)立可得$5{x}^{2}+8\sqrt{3}bx+8^{2}$=0，…（6分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8\sqrt{3}b}{5}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{8^{2}}{5}$，得|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{2}b}{5}$．
△OMN的面積為：$\frac{\sqrt{3}b}{2}$|y₁-y₂|=$\frac{\sqrt{3}b}{2}$|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{3}b}{2}×\frac{4\sqrt{2}b}{5}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}^{2}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，…（10分）
∴b²=1，a²=4，∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓離心率的求法，考查橢圓方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、弦長公式、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．