Question

已知函數(shù)f（x）=x³+x²+|x-a|．（a是常數(shù)，且a≤

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）
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，f（x）的最小值為g（a），求證：對(duì)任意x∈[-2，1]，f（x）≤g（a）+9成立．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）去絕對(duì)值，通過(guò)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)從而判斷f（x）的單調(diào)性，并最后得出：a≤-1時(shí)，f（x）在R上是增函數(shù)；-1＜a≤

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時(shí)，f（x）在（-∞，-1），[a，+∞）上是增函數(shù)，在（-1，a）上是減函數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)上面的結(jié)論，分別求在a≤-1，-1＜a≤

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時(shí)的最小值g（a），和最大值，只要證明g（a）+9大于等于f（x）的最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）①當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=x³+x²+x-a，f′（x）=3x²+2x+1＞0；
∴此時(shí)f（x）是增函數(shù)；
②當(dāng)x＜a時(shí)，f（x）=x³+x²-x+a，f′（x）=3x²+2x-1；
解3x²+2x-1=0得，x=-1，或

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；
∴x＜-1，或x＞

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時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）是增函數(shù)；
-1＜x＜

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時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）是減函數(shù)；
∴當(dāng)a≤-1時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)-1＜a≤

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時(shí)，f（x）在（-∞，-1），[a，+∞）上是增函數(shù)，在[-1，a）上是減函數(shù)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（1）當(dāng)a≤-1時(shí)，f（x）在[-2，1]上是增函數(shù)；
∴g（a）=f（-2）=|a+2|-4；
最大值為f（1）=2+|1-a|=3-a；
①當(dāng)-2＜a≤-1時(shí)，a+2＞0，2a+4＞0；
∴g（a）+9-f（x）≥g（a）+9-f（1）=a+7-3+a=2a+4＞0；
∴對(duì)任意x∈[-2，1]，f（x）＜g（a）+9；
②當(dāng)a≤-2時(shí)，a+2≤0；
g（a）+9-f（x）≥g（a）+9-f（1）=-a+3-3+a=0；
∴對(duì)任意x∈[-2，1]，f（x）≤g（a）+9；
（2）當(dāng)-1＜a≤

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時(shí)，f（x）在[-2，-1]，[a，1]上是增函數(shù)，在[-1，a]上是減函數(shù)；
f（a）-f（-2）=a³+a²+2-a=a²（a+1）+（2-a）＞0；
f（1）-f（-1）=3-a-1-a=2-2a=2（1-a）＞0；
∴g（a）=a-2，最大值為f（1）=3-a；
∴g（a）+9-f（x）≥g（a）+9-f（1）=a+7-3+a=2（a+2）＞0；
∴對(duì)任意x∈[-2，1]，f（x）＜g（a）+9；
由（1）（2）知對(duì)任意x∈[-2，1]，f（x）≤g（a）+9成立．

點(diǎn)評(píng)：考查處理含絕對(duì)值函數(shù)的方法：去絕對(duì)值，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值．