Question

14．（文科）已知拋物線y²=2x，直線l過點（0，2）與拋物線交于M，N兩點，O為坐標原點，且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，求直線l的方程．

Answer 1

分析 將直線方程代入拋物線方程，利用OM⊥ON，轉(zhuǎn)化為x₁x₂+y₁y₂=0，從而可求k的值，進而可求直線l的方程．

解答 解：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y=kx+2（k≠0），--------（1分）
與拋物線y²=2x聯(lián)立，消去x得ky²-2y+4=0，-------------（3分）
△=4-16k＞0⇒k＜$\frac{1}{4}$（k≠0），------------（4分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則y₁+y₂=$\frac{2}{k}$，y₁•y₂=$\frac{4}{k}$，-------------（5分）
y₁²=2x₁，y₂²=2x₂⇒x₁•x₂=$\frac{1}{4}$（y₁•y₂）²=$\frac{4}{{k}^{2}}$
∵$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，∴OM⊥ON⇒k_OM•k_ON=-1，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0，-------------（9分）
∴$\frac{4}{{k}^{2}}$+$\frac{4}{k}$=0，解得k=-1．-----------（10分）
所以所求直線方程為y=-x+2，即x+y-2=0．-----------（12分）

點評 本題以拋物線為載體，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力．