Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=x|x-a|，下列說法中，描述完全正確的個數(shù)為（　�。�
①無論a取何實數(shù)，函數(shù)f（x）的圖象均過原點；
②當(dāng)a＞2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，2]上的解析式為f（x）=-x²+ax；
③當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）有最大值

1

4

；
④當(dāng)a=2時，若函數(shù)y=f（x）-m有3個不同的零點，則0＜m＜1．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：代入特殊點驗證①，比較a與x的大小可去掉絕對值符號來判斷②，
考慮函數(shù)的單調(diào)性可判斷③，化為分段函數(shù)畫函數(shù)的圖象可判斷④．

解答： 解：①、∵f（0）=0×|0-a|=0，故函數(shù)f（x）的圖象過原點，正確；
②、∵x∈（-∞，2]上，∴x＜2，而a＞2時，∴x＜a，因此函數(shù)f（x）=x（a-x）=-x²+ax，正確；
③、當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）=x|x-1|，當(dāng)x＞1時，f（x）=x（x-1）=x²-x在區(qū)間（1，+∞）遞增，無最大值，錯誤；
④、當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）=x|x-2|=

x(x-2)，x≥2 x(2-x)，x＜2

，圖象如下圖：

當(dāng)0＜m＜1時，函數(shù)y=m與函數(shù)y=x|x-2|有3個交點，則函數(shù)y=f（x）-m有3個不同的零點，所以④正確．
綜上①②④正確，
故選：D．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點的判斷，同時考查分段函數(shù)的性質(zhì)，注意，帶有絕對值符號的函數(shù)�；癁榉侄魏瘮�(shù)．