【題目】已知函數(shù)g(x)=x+ ﹣2.
(1)證明:函數(shù)g(x)在[ ,+∞)上是增函數(shù);
(2)若不等式g(2x)﹣k2x≥0在x∈[﹣1,1]上有解,求實數(shù)k的取值范圍.

【答案】
(1)證明:設(shè) ≤x1<x2,

∵g(x1)﹣g(x2)=

≤x1<x2,∴x1﹣x2<0,2<x1x2,即x1x2﹣2>0.

∴g(x1)﹣g(x2)<0,即g(x1)<g(x2),

所以函數(shù)g(x)在[ ,+∞)上是增函數(shù)


(2)解:g(2x)﹣k2x≥0,可化為2x+ ﹣2≥k2x,

化為1+2 ﹣2 ≥k,

令t= ,則k≤2t2﹣2t+1,

因x∈[﹣1,1],故t∈[ ,2],

記h(t)=2t2﹣2t+1,因為t∈[ ,2],故h(t)max=5,

所以k的取值范圍是(﹣∞,5]


【解析】(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可;(2)問題化為1+2 ﹣2 ≥k,令t= ,則k≤2t2﹣2t+1,從而求出k的范圍即可.
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法,掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大。虎圩鞑畋容^或作商比較即可以解答此題.

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(Ⅰ)求雕刻師當天收入(單位:元)關(guān)于雕刻量(單位:粒, )的函數(shù)解析式

(Ⅱ)該雕刻師記錄了過去10天每天的雕刻量(單位:粒),整理得下表:

雕刻量

210

230

250

270

300

頻數(shù)

1

2

3

3

1

以10天記錄的各雕刻量的頻率作為各雕刻量發(fā)生的概率.

(ⅰ)求該雕刻師這10天的平均收入; 

(ⅱ)求該雕刻師當天的收入不低于300元的概率.

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(2)若不積極參加班級工作的且學習積極性高的7名學生中有兩名男生,現(xiàn)從中抽取2名學生參加某項活動,問2名學生中有1名男生的概率是多少?

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