如圖，橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為．不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)求△ABP的面積取最大時直線l的方程．

答案：
解析：

　　答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)y＝－．

　　解析：(Ⅰ)由題：；(1)

　　左焦點(－c，0)到點P(2，1)的距離為：．(2)

　　由(1)(2)可解得：．

　　∴所求橢圓C的方程為：．

　　(Ⅱ)易得直線OP的方程：y＝x，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．

　　∵A，B在橢圓上，

　　∴．

　　設(shè)直線AB的方程為l：y＝－(m≠0)，

　　代入橢圓：．

　　顯然．

　　∴－＜m＜且m≠0．

　　由上又有：＝m，＝．

　　∴|AB|＝||＝＝．

　　∵點P(2，1)到直線l的距離為：．

　　∴SABP＝d|AB|＝|m＋2|，

　　當|m＋2|＝，即m＝－3or；m＝0(舍去)時，(SABP)max＝．

　　此時直線l的方程y＝－．


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
a2-1
=1的左右頂點分別為A、B，左右焦點分別為F1、F2，P為以F1、F2為直徑的圓上異于F1、F2的動點，直線PF1、PF2分別交橢圓C于M、N和D、E．
（1）證明：
AP
•
BP
為定值K；
（2）當K=-2時，問是否存在點P，使得四邊形DMEN的面積最小，若存在，求出最小值和P坐標，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為．不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ) 求ABP的面積取最大時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（浙江卷解析版） 題型：解答題

如圖，橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為．不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ) 求ABP的面積取最大時直線l的方程．

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

 (2012年高考浙江卷理科21) (本小題滿分15分)如圖，橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為．不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ) 求ABP的面積取最大時直線l的方程．

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