Question

已知三次方程x³+ax²+2x+b=0有三個實數根，它們分別可作為拋物線、雙曲線、橢圓的離心率，則實數a的取值范圍是

-3＜a＜-

5

2

．

Answer 1

分析：根據拋物線的離心率為1，得到b=-a-3，將其代入方程將方程因式分解，根據題意，轉化為二次方程的實根分布，結合二次函數的圖象寫出限制條件．

解答：解：因為拋物線的離心率為1，
所以1是方程x³+ax²+2x+b=0的根，
可知b=-a-3，
x³+ax²+x+b=（x-1）[x²+（a+1）x+a+3]=0，
又橢圓的離心率大于0小于1，雙曲線大于1，
所以x²+（a+1）x+a+3=0的兩根分別在（0，1）（1，+∞）上
令g（x）=x²+（a+1）x+a+3，
則

g(0)＞0 g(1)＜0

，
得-3＜a＜-

5

2

故答案為：-3＜a＜-

5

2

點評：本題考查圓錐曲線的離心率的范圍，考查二次方程的實根分布問題，屬于中檔題．