Question

15．對于函數(shù)f（x）=sinx十2cosx，給出下列三個命題：
①存在φ∈（0，$\frac{π}{2}$），使f（φ）=$\frac{3}{4}$；
②存在φ∈R，使函數(shù)f（x+φ）的圖象關(guān)于y軸對稱；
③存在φ∈R，使函數(shù)f（x+φ）的圖象關(guān)于原點對稱．
其中真命題是②③．（填序號）．

Answer 1

分析 由條件利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，再利用誘導公式，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域以及它們的圖象的對稱性，得出結(jié)論．

解答 解：對于函數(shù)f（x）=sinx十2cosx=$\sqrt{5}$（$\frac{1}{\sqrt{5}}$sinx+$\frac{2}{\sqrt{5}}$cosx）=$\sqrt{5}$sin（x+θ）∈[-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$]，
其中，cosθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，sinθ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，θ為銳角，θ=arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∵φ∈（0，$\frac{π}{2}$），α+θ∈（arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{π}{2}$+arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），f（φ）=$\sqrt{5}$sin（α+θ）∈（1，$\sqrt{5}$]，
∵$\frac{3}{4}$∉（1，$\sqrt{5}$]，故不存在φ∈（0，$\frac{π}{2}$），使f（φ）=$\frac{3}{4}$，故①不正確．
∵f（x+φ）=$\sqrt{5}$sin（x+φ+θ），故當θ+φ=$\frac{π}{2}$時，f（x+φ）=$\sqrt{5}$sin（x+φ+θ）=$\sqrt{5}$cosx為偶函數(shù)，
故②正確．
∵f（x+φ）=$\sqrt{5}$sin（x+φ+θ），故當θ+φ=kπ，k∈Z時，f（x+φ）=±$\sqrt{5}$sinx，
為奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于原點對稱，故③正確，
故答案為：②③．

點評 本題主要考查輔助角公式，誘導公式，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題．