Question

12．一袋中裝有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)，取出后記下顏色，若為紅色則停止，若為白色則繼續(xù)抽取，設(shè)停止時(shí)從袋中抽取的白球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，則P（x≤$\sqrt{6}$）=$\frac{23}{28}$，E（x）=$\frac{5}{4}$，V（x）=$\frac{27}{16}$．

Answer 1

分析 X=k表示前k個(gè)球?yàn)榘浊�，第k+1個(gè)恰為紅球，由題意X的可能取值為0，1，2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列，從而能求出結(jié)果．

解答 解：X=k表示前k個(gè)球?yàn)榘浊颍趉+1個(gè)恰為紅球，
P（X=0）=$\frac{{A}_{3}^{1}}{{A}_{8}^{1}}$=$\frac{3}{8}$，
P（X=1）=$\frac{{A}_{5}^{1}{A}_{3}^{1}}{{A}_{8}^{2}}$=$\frac{15}{56}$，
P（X=2）=$\frac{{A}_{5}^{2}{A}_{3}^{1}}{{A}_{8}^{3}}$=$\frac{10}{56}$，
P（X=3）=$\frac{{A}_{5}^{3}{A}_{3}^{1}}{{A}_{8}^{4}}$=$\frac{6}{56}$，
P（X=4）=$\frac{{A}_{5}^{4}{A}_{3}^{1}}{{A}_{8}^{5}}$=$\frac{3}{56}$，
P（X=5）=$\frac{{A}_{5}^{5}{A}_{3}^{1}}{{A}_{8}^{6}}$=$\frac{1}{56}$，
∴ξ的分布列為：

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{3}{8}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{10}{56}$	$\frac{6}{56}$	$\frac{3}{56}$	$\frac{1}{56}$

P（X$≤\sqrt{6}$）=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）
=$\frac{3}{8}$+$\frac{15}{56}$+$\frac{10}{56}$=$\frac{23}{28}$．
E（X）=$0×\frac{3}{8}+1×\frac{15}{56}+2×\frac{10}{56}+3×\frac{6}{56}+4×\frac{3}{56}$+5×$\frac{1}{56}$=$\frac{5}{4}$．
V（X）=（0-$\frac{5}{4}$）²×$\frac{3}{8}$+（1-$\frac{5}{4}$）²×$\frac{15}{56}$+（2-$\frac{5}{4}$）²×$\frac{10}{56}$+$（3-\frac{5}{4}）^{2}×\frac{6}{56}$+（4-$\frac{5}{4}$）²×$\frac{3}{56}$+（5-$\frac{5}{4}$）²×$\frac{1}{56}$=$\frac{27}{16}$．
故答案為：$\frac{23}{28}$，$\frac{5}{4}$，$\frac{27}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．