設(shè)函數(shù)f(x)=
1
3
ax3-ax+a,g(x)=bx2-lnx,(a>0,b∈R)
,已知它們在x=1處的切線互相平行.
(1)求b的值;
(2)當x>0時,求證:x2-2lnx≥1;
(3)若函數(shù)F(x)=
f(x),(x≤0)
g(x),(x>0)
,且方程F(x)=a2有且僅有四個解,求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得f(1)=g(1)即可求出b的值.
(2)由(1)可得g(x)=
(x-1)(x+1)
x
從而可得出x∈(0,1)時g(x)<0,x∈(1,+∞)時g(x)>0所以g(x)≥g(1)再整理即可.
(3)利用導數(shù)判斷函數(shù)F(x)的單調(diào)性和極值然后作出函數(shù)F(x)的簡圖然后根據(jù)函數(shù)y=a2與函數(shù)F(x)的圖象有兩個交點即可求出a的范圍.
解答:解:(1)f(x)=a(x2-1),g(x)=2bx-
1
x

∵它們在x=1處的切線互相平行
∴f(1)=g(1)
∴2b-1=0
∴b=
1
2

(2)由(1)可得:g(x)=
(x-1)(x+1)
x

當x∈(0,1)時g(x)<0,當x∈(1,+∞)時g(x)>0
則:gmin(x)=g極小值(x)=g(1)=
1
2

∴g(x)=
1
2
x2- lnx
1
2

∴x2-2lnx≥1
(3)當x>0時,F(xiàn)(x)=)=
1
2
x2- lnx
,由(2)得:
當x=1時F極小值(x)=F(1)=
1
2

當x≤0時F(x)=
1
3
ax3-ax+a
則F(x)=a(x-1)(x+1)
∴當x∈(-∞,-1)時F(x)>0,當x∈(-1,0)時F(x)<0
故當x=-1時F極大值(x)=F(-1)=
5a
3

又方程F(x)=a2有且僅有四個解
則:
1
2
<a2
5a
3

又a>0
∴a∈(
2
2
5
3
)
點評:本題主要考查了導數(shù)的幾何意義以及利用導數(shù)判斷函數(shù)F(x)的單調(diào)性和極值,屬常考題,較難.解題的關(guān)鍵是透徹理解導數(shù)的幾何意義即為在這點切線的斜率,同時能根據(jù)導數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性進而作出函數(shù)簡圖為數(shù)形結(jié)合解題作鋪墊!
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•河南模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax+
1-a
x
-1

(Ⅰ)當a=1時,過原點的直線與函數(shù)f(x)的圖象相切于點P,求點P的坐標;
(Ⅱ)當0<a<
1
2
時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)當a=
1
3
時,設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2bx-
5
12
,若對于?x1∈(0,e],?x2∈[0,1]使f(x1)≥g(x2)成立,求實數(shù)b的取值范圍.(e是自然對數(shù)的底,e<
3
+1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•株洲模擬)設(shè)x0是函數(shù)f(x)=(
1
3
)x-log2x
的零點.若0<a<x0,則f(a)的值滿足(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
(
1
3
)
x
-8(x≤0)
x
     (x>0)
,若f(a)>1,則實數(shù)a的取值范圍為
a>1或a<-2
a>1或a<-2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
1
3
(a-1)x3-
1
2
ax2+x
(a∈R)[
(Ⅰ)若y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與y軸和直線x-2y=0圍成的三角形面積等于
1
4
,求a的值;
(II)當a<2時,討論f(x)的單調(diào)性.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
(
1
3
)
x
-8(x<0)
x
(x≥0)
,若f(a)>1,則實數(shù)a的取值范圍是(  )

查看答案和解析>>

同步練習冊答案