Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率為.過(guò)F₁的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF₂的周長(zhǎng)為8.過(guò)定點(diǎn)M(0，3)的直線l₁與橢圓C交于G，H兩點(diǎn)(點(diǎn)G在點(diǎn)M，H之間)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)直線l₁的斜率k>0，在x軸上是否存在點(diǎn)P(m，0)，使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形為菱形？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

(1) ＝1(2)

(1)設(shè)橢圓的方程為＝1(a>b>0)，由離心率e＝＝，△ABF₂的周長(zhǎng)為|AF₁|＋|AF₂|＋|BF₁|＋|BF₂|＝4a＝8，得a＝2，c＝1，則b²＝a²－c²＝3.
所以橢圓C的方程為＝1.
(2)由題意可知，直線l₁的方程為y＝kx＋3(k>0)．
由得(3＋4k²)x²＋24kx＋24＝0，①
Δ＝(24k)²－4×24×(3＋4k²)>0，解得k>.
設(shè)橢圓的弦GH的中點(diǎn)為N(x₀，y₀)，則“在x軸上是否存在點(diǎn)P(m，0)，使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形為菱形”等價(jià)于“在x軸上是否存在點(diǎn)P(m，0)，使得PN⊥l₁”．
設(shè)G(x₁，y₁)，H(x₂，y₂)，由韋達(dá)定理，得x₁＋x₂＝－，
則x₀＝＝－，所以y₀＝kx₀＋3＝，
即N，k_PN＝－.
從而－·k＝－1，
解得m＝－.
又因?yàn)閙′(k)＝>0，
所以函數(shù)m＝－在定義域上單調(diào)遞增，且m_min＝m＝－，即m∈.
故存在滿足條件的點(diǎn)P(m，0)，m的取值范圍為