Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{4}x+x-3（x＞0）}\\{x-（\frac{1}{4}）^{x}+3（x≤0）}\end{array}\right.$，若f（x）的兩個零點分別為x₁，x₂，則|x₁-x₂|=（　�。�

• A． 3-ln2
• B． 3ln2
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 換底公式得到$lo{g}_{4}x=-lo{g}_{\frac{1}{4}}x$，然后令f（x）=0，從而得出$x-3=lo{g}_{\frac{1}{4}}x，x＞0$，$x+3=（\frac{1}{4}）^{x}，x≤0$，然后畫出直線y=x-3，y=x，y=x+3以及函數(shù)$y=lo{g}_{\frac{1}{4}}x$和$y=（\frac{1}{4}）^{x}$的圖象，由圖象可看出|x₁-x₂|為A，B兩點距離的一半，從而求出|x₁-x₂|的值．

解答 解：$lo{g}_{4}x=-lo{g}_{\frac{1}{4}}x$；

∴令f（x）=0得：
$x-3=lo{g}_{\frac{1}{4}}x，x+3=（\frac{1}{4}）^{x}$；
∴直線y=x-3和曲線$y=lo{g}_{\frac{1}{4}}x$的交點C橫坐標為x₁，直線y=x+3和曲線$y=（\frac{1}{4}）^{x}$的交點D橫坐標為x₂；
如圖，兩曲線關于y=x對稱，直線y=x-3和y=x+3關于y=x對稱；
∴CD⊥AD，CD⊥CB；
∴$|{x}_{1}-{x}_{2}|=\frac{|AB|}{2}=3$．
故選：D．

點評 考查函數(shù)零點的概念，函數(shù)的零點和直線與曲線交點的關系，互為反函數(shù)的兩圖象的對稱性，以及數(shù)形結合解題的方法．