Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=

5

3

，3a_n+1=a_n+2．n∈N^*
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）若a₁+a₂+…+a_n＜100，求最大的正整數(shù)n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由3a_n+1=a_n+2得3（a_n+1-1）=a_n-1，所以{a_n-1}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）確定數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，再求和，利用a₁+a₂+…+a_n＜100，求最大的正整數(shù)n．

解答： （Ⅰ）證明：∵3a_n+1=a_n+2，
∴3（a_n+1-1）=a_n-1，
∵a₁=

5

3

，
∴a₁-1=

2

3

，
∴數(shù)列{a_n-1}是以

2

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知：a_n-1=

2

3

•3^1-n，
∴a_n=2•3^-n+1，
∴a₁+a₂+…+a_n=n+2（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

）=n+1-

1

3n

，
由n+1-

1

3n

＜100，可得最大的正整數(shù)n=99．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明和數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的求和．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．