Question

已知正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱長為a.

（1）若E、F分別為BC、A₁B₁的中點，求FC₁和DE所成的角；

（2）若E、F分別為BC、A₁D₁的中點，求AD與平面B₁DE所成的角；

（3）若E、F分別為BC、A₁D₁的中點，求平面B₁EDF和平面ABCD所成的二面角的大小.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）A1C和DE是異面直線，需將它們平移成相交直線，再去求它們所成的角. 取AB的中點M，連結(jié)FM、CM，則FM∥CC1，故四邊形CC1FM是矩形，因此C1F∥CM.∴FC1和DE所成的角就是DE與CM所成的角.在底面ABCD中，E、M分別為BC、AB的中點，易證　　　　    △BCM≌△CDM.由此可以證明DE⊥CM，DE與CM所成的角為90°，∴FC1和DE所成的角為90°. 　　　　    （1）　　　　        　　   （2）　　　　　　　　　　　　  （3） （2）要求線面所成的角，需要找出直線在平面內(nèi)的射影，將線面所成的角轉(zhuǎn)化為線線所成的角. 如圖（2），∵E、F分別為正方體ABCD—A1B1C1D1的棱BC、A1D1的中點， ∴∠ADE=∠ADF.四邊形DEB1F是菱形，則B1D是∠EDF的平分線，故AD在平面B1DE上的射影在直線B1D上.∴∠ADB1是AD與平面B1DE所成的角.在Rt△AB1D中，AD=a，B1D=， ∴cosADB1=. ∴AD與平面B1DE所成的角是arccos. （3）求二面角的關(guān)鍵在于找出其平面角. 連結(jié)EF、B1D交于點O，則O平分B1D，且為正方體的中心，作OH⊥面AC于H，OM⊥DE于M，則HM⊥DE.在Rt△EOD中，EO=a，OD=a，DE=a. ∴OM=. 在Rt△OHM中，sinOMH=， ∴平面B1EDF和平面ABCD所成的二面角的大小為arcsin或π－arcsin.