Question

14．已知點P（0，-1）是橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個頂點，C₁的長軸是圓C₂：x²+y²=4的直徑．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）如圖1，過橢圓C₁的右焦點F作直線l₁交該橢圓右支于A，B兩點，弦AB的垂直平分線交x軸于P，求$\frac{|PF|}{|AB|}$的值．
（3）如圖2，若圓C₂：x²+y²=4與y軸正半軸交于點Q，過點Q的直線l₂交橢圓C₁于M、N兩點，求△OMQ與△ONQ面積之比的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接由已知得到a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）聯立直線方程和橢圓方程，利用根與系數的關系求出A、B中點的坐標，得到l₁的垂直平分線的方程，求得P的坐標，進一步求出|PF|、|AB|得答案；
（3）聯立直線方程和橢圓方程，把△OMQ與△ONQ面積之比轉化為M、N的橫坐標的比值得答案．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$，∴橢圓C₁的方程為$\frac{x2}{4}$+y²=1；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點D（x₀，y₀）．設直線l₁的方程為x=my+$\sqrt{3}$．（$-\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+\sqrt{3}}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，消去x整理得$（{m}^{2}+4）{y}^{2}+2\sqrt{3}y-1=0$，
則${y}_{0}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=-\frac{\sqrt{3}m}{{m}^{2}+4}$，${x}_{0}=m{y}_{0}+\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{{m}^{2}+4}$．
∴l(xiāng)₁的垂直平分線的方程為：y-y₀=-m（x-x₀），即$y+\frac{\sqrt{3}m}{{m}^{2}+4}=-m（x-\frac{4\sqrt{3}}{{m}^{2}+4}）$，
令y=0，得$x=\frac{3\sqrt{3}}{{m}^{2}+4}$．即P（$\frac{3\sqrt{3}}{{m}^{2}+4}，0$）．
∴|PF|=$\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{{m}^{2}+4}=\frac{\sqrt{3}（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+4}$，
又|AB|=|AF|+|BF|=$\frac{4（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+4}$，
∴$\frac{|PF|}{|AB|}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
（3）設直線l₂的方程為y=kx+2，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$消去y，得（4k²+1）x²+16kx+12=0．
則△=256k²-48（4k²+1）＞0，得${k}^{2}＞\frac{3}{4}$．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則$\frac{{S}_{△OMQ}}{{S}_{△ONQ}}=\frac{|MQ|}{|NQ|}=\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，由題意，0＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜1．
又${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-16k}{4{k}^{2}+1}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{12}{4{k}^{2}+1}$，
則$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+2$=$\frac{\frac{256{k}^{2}}{（4{k}^{2}+1）^{2}}}{\frac{12}{4{k}^{2}+1}}=\frac{64{k}^{2}}{12{k}^{2}+3}$，
∵${k}^{2}＞\frac{3}{4}$，∴$\frac{64{k}^{2}}{12{k}^{2}+3}$∈（4，$\frac{16}{3}$），∴2＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜$\frac{10}{3}$．
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$∈（$\frac{5-\sqrt{22}}{3}，1$），
即$\frac{{S}_{△OMQ}}{{S}_{△ONQ}}$∈（$\frac{5-\sqrt{22}}{3}，1$）．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與圓錐曲線位置關系的應用，考查了運算能力，是壓軸題．