如圖，圓與直線相切于點(diǎn)，與正半軸交于點(diǎn)，與直線在第一象限的交點(diǎn)為.點(diǎn)為圓上任一點(diǎn)，且滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為曲線．

（1）求圓的方程及曲線的方程；
（2）若兩條直線和分別交曲線于點(diǎn)、和、，求四邊形面積的最大值，并求此時(shí)的的值．
（3）證明：曲線為橢圓，并求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（1）圓的方程為，曲線的方程為（）；（2）當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大值為；（3）證明見解析，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，.

試題分析：（1）圓的半徑等于圓心到切線的距離，曲線的方程可通過已知變形得到，條件是，，把已知式平方可得出的方程；（2）從方程可看出，即，因此，我們把方程與曲線方程聯(lián)立方程組可解得兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到，把中的，用代可得出，從而求出，變形為，易知，故當(dāng)即時(shí)，取得最大值，為了求最大值，也可作變形，應(yīng)用基本不等式基本不等式知識(shí)得出結(jié)論；（3）要證曲線為橢圓，首先找它的對(duì)稱軸，從方程中可看出直線是其對(duì)稱軸，接著求出曲線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即橢圓的頂點(diǎn)，這樣可求得長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)，根據(jù)公式，求出半焦距，這樣可求出焦點(diǎn)，下面我們只要按照橢圓的定義證明曲線的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值，也可求出到兩定點(diǎn)的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡方程是曲線的方程，這樣就完成了證明. 
試題解析：（1）由題意圓的半徑，
故圓的方程為.                             2分
由得，，
即，得
（）為曲線的方程.（未寫范圍不扣分） 4分
（2）由得，，
所以，同理.        6分
由題意知 ，所以四邊形的面積.
，
∵ ，∴ .           8分
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí).
∴ 當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大值為.                        10分
（3）曲線的方程為（），它關(guān)于直線、和原點(diǎn)對(duì)稱，下面證明：
設(shè)曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，顯然，所以點(diǎn)在曲線上，故曲線關(guān)于直線對(duì)稱，
同理曲線關(guān)于直線和原點(diǎn)對(duì)稱.
可以求得和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為
和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
，，，.
在上取點(diǎn)
下面證明曲線為橢圓：
ⅰ）設(shè)為曲線上任一點(diǎn)，則





（因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042914899611.png" style="vertical-align:middle;" />）
.
即曲線上任一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值.
ⅱ）若點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值，可以求得點(diǎn)的軌跡方程為（過程略）.            
故曲線是橢圓，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.              18分
第（3）問說明：
1. ⅰ）、ⅱ）兩種情形只需證明一種即可，得5分，
2. 直接寫出焦點(diǎn)的坐標(biāo)給3分，未寫出理由不扣分.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和為，線段的長(zhǎng)為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）過點(diǎn)作直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段的上方，
線段的垂直平分線為.
①求的面積的最大值；
②軌跡上是否存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切。
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且，試判斷的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖；.已知橢圓C:的離心率為，以橢圓的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T:設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M、N.

（1）求橢圓C的方程；
（2）求的最小值，并求此時(shí)圓T的方程;
（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn). 試問；是否存在使最大的點(diǎn)P，若存在求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè),分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過作傾斜角為的直線交橢圓于,兩點(diǎn), 到直線的距離為,連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形面積為.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點(diǎn)，設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，過、兩點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn),若, 求的取值范圍；
（3）作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,其中點(diǎn)的坐標(biāo)為,若點(diǎn)是線段垂直平分線上一點(diǎn),且滿足,求實(shí)數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在橢圓C上，·＝0,3||·||＝－5·，||＝2，過點(diǎn)F2且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)線段OF2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))上是否存在點(diǎn)M(m,0)，使得·＝·？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖為橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，D，E是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率，的面積為.若點(diǎn)在橢圓C上，則點(diǎn)稱為點(diǎn)M的一個(gè)“橢圓”，直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的“橢圓”分別為P，Q.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）問是否存在過左焦點(diǎn)的直線，使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出該直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則正數(shù)等于(    )
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M(2，t)(t>0)在直線x＝(a為長(zhǎng)半軸，c為半焦距)上．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求以O(shè)M為直徑且被直線3x－4y－5＝0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；
(3)設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值．

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