Question

8．已知函數(shù)y=4b²-3b²sin²θ-3bsinθ+$\frac{9}{4}$的最大值為7，實數(shù)b的值為±1．

Answer 1

分析 令sinθ=t（-1≤t≤1），則y=-3b²t²-3bt+4b²+$\frac{9}{4}$，顯然b≠0，對稱軸為t=-$\frac{1}{2b}$，討論對稱軸和區(qū)間[-1，1]的關系，由單調性可得最大值，解方程，即可得到b的值．

解答 解：∵函數(shù)y=4b²-3b²sin2θ-3bsinθ+$\frac{9}{4}$的最大值為7，令sinθ=t（-1≤t≤1），
則y=-3b²t²-3bt+4b²+$\frac{9}{4}$，顯然b≠0，對稱軸為t=-$\frac{1}{2b}$．
①當-$\frac{1}{2b}$≥1，即-$\frac{1}{2}$≤b＜0時，區(qū)間[-1，1]為增區(qū)間，
當t=1時，取得最大值，即有-3b²-3b+4b²+$\frac{9}{4}$=7，
解得b=$\frac{3±2\sqrt{7}}{2}$∉[-$\frac{1}{2}$，0）；
②當-$\frac{1}{2b}$≤-1，即0＜b≤$\frac{1}{2}$時，區(qū)間[-1，1]為減區(qū)間，
當t=-1時，取得最大值，即有-3b²+3b+4b²+$\frac{9}{4}$=7，
解得b=$\frac{-3±2\sqrt{7}}{2}$∉（0，$\frac{1}{2}$]；
③當-1＜-$\frac{1}{2b}$＜1即為b＞$\frac{1}{2}$或b＜-$\frac{1}{2}$時，即有t=-$\frac{1}{2b}$時，
取得最大值7，即為$\frac{4（-{3b}^{2}）•（{4b}^{2}+\frac{9}{4}）-{9b}^{2}}{4•（-{3b}^{2}）}$=7，解得b=±1，
故答案為：±1．

點評 本題考查可化為二次函數(shù)的最值的求法，注意運用換元法和討論對稱軸和區(qū)間的關系，運用單調性解題，屬于中檔題．