Question

在(

x

+

2

x2

)n的展開式中，第3項的系數(shù)與倒數(shù)第3項的系數(shù)之比為

1

16

．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）展開式的哪幾項是有理項（回答項數(shù)即可）；
（Ⅲ）求出展開式中系數(shù)最大的項．

Answer 1

分析：（I）利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令r 分別為2，n-2得到第3項的系數(shù)與倒數(shù)第3項的系數(shù)，根據(jù)已知條件列出方程，求出n的值．
（II）利用（I）的結(jié)果代入展開式的通項，令x的指數(shù)為整數(shù)，求出r的值得到展開式的有理項．
（III）設(shè)出展開式的系數(shù)最大的項，令其系數(shù)大于等于它前一項的系數(shù)同時大于等于它后一項的系數(shù)，列出不等式組，求出展開式中系數(shù)最大的項．

解答：解：（Ⅰ）(

x

+

2

x2

)n展開式的通項為Tr+1=2r

C

r n

x

n-5r

2

令r=2得展開式第3項的系數(shù)為2²C_n²=4C_n²，
令r=n-2得倒數(shù)第3項的系數(shù)是 2^n-2C_n^n-2=2^n-2C_n²
所以有16×4C_n²=2^n-2C_n²：，
解得n=8；
（Ⅱ）當 n=8時，展開式的通項為Tr+1=2r

C

r 8

x

8-5r

2

要為有理項則

8-5r

2

 為整數(shù)，此時 r可以取到0，2，4，6，8，
所以有理項分別是第1項，第3項，第5項，第7項，第9項；
（Ⅲ）設(shè)第 k項系數(shù)的最大，
∴

2k C k 8 ≥2k+1 C k+1 8 2k C k 8 ≥2k-1 C k-1 8

，
解得k=6或7，
故系數(shù)的最大的項是第6項和第7項，
∴分別展開式中系數(shù)最大的項為T₆=25

C

5 8

x-

17

2

=1792x-

17

2

，T₇=1792x^-11

點評：解決二項展開式的特定項問題，一般利用二項展開式的通項公式作為工具；解決二項展開式的項的系數(shù)和問題，常設(shè)出最大的系數(shù)的項，然后令其系數(shù)大于等于它前一項的系數(shù)同時大于等于它后一項的系數(shù)．