Processing math: 100%
6.如圖,已知中心在坐標原點的橢圓C,F(xiàn)1,F(xiàn)2 分別為橢圓的左、右焦點,右頂點到右準線的距離為2,離心率為12.過橢圓的左焦點F1 任意作一條直線l 與橢圓交于A,B 兩點.設A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)當直線l 的斜率k=1 時,求三角形ABF2 的面積;
(3)當直線l 繞F1 旋轉(zhuǎn)變化時,求三角形ABF2 的面積的最大值.

分析 (1)由a2ca=2,e=ca=12,求得a和c的值,b2=a2-c2,即可求得橢圓C的標準方程;
(2)由(1)可知:直線l的方程為y=x+1,代入橢圓方程,由韋達定理及弦長公式即可求得△ABF2的面積;
(3)設直線l的方程為x=my-1,代入橢圓方程,利用韋達定理,弦長公式及函數(shù)的單調(diào)性記錄求得△ABF2的面積的最大值.

解答 解:(1)由題意可知:a2ca=2,e=ca=12,解得:a=2,c=1,
b2=a2-c2=3,
∴橢圓的標準方程:x24+y23=1;
(2)直線l的方程為y=x+1,
{y=x+1x24+y23=1,整理得:7y2-6y-9=0,
則y1+y2=67,y1•y2=-97,
丨y1-y2丨=y1+y224y1y2=1227,
∴三角形ABF2 的面積S=12×2c×丨y1-y2丨=1227;
三角形ABF2 的面積1227;
(3)當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為x=my-1,
{x=my13x2+4y212=0,整理得(3m2+4)y2-6my-9=0,
由韋達定理可知:y1+y2=6m3m2+4,y1•y2=-93m2+4,
丨y1-y2丨=y1+y224y1y2=12m2+13m2+4,
設t=m2+1t≥1,則m2=t2-1,
丨y1-y2丨=12m2+13m2+4=12t3t2+1=123t+1t,
f(t)=3t+1t,f′(t)=3-1t2>0,函數(shù)f(t)單調(diào)遞增,
則當t=1時,丨y1-y2丨有最大值3,
故三角形ABF2的面積的最大值為S=12×2c×丨y1-y2max=3,
綜合可知:△ABF2 的面積的最大值.

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì),考查韋達定理,弦長公式及函數(shù)的單調(diào)性,最值與圓錐曲線的綜合應用,考查計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

16.先后拋擲一枚硬幣,出現(xiàn)“一次正面,一次反面”的概率為( �。�
A.13B.12C.14D.23

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

17.計算下列各題:
(1)1i12+32i1+i
(2)i÷(4+3i)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

14.已知函數(shù)fx=2sin2x+3π2+3sin(π-2x)
(1)若x[0π2],求f(x)的取值范圍;
(2)求函數(shù)y=log12f(x)的單調(diào)增區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

1.觀察下面頻率等高條形圖,其中兩個分類變量x,y之間關系最強的是( �。�
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

11.某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如表:
年齡(歲)19242630343540合計
工人數(shù)(人)133543120
(Ⅰ) 求這20名工人年齡的眾數(shù)與平均數(shù);
(Ⅱ) 以十位數(shù)為莖,個位數(shù)為葉,作出這20名工人年齡的莖葉圖;
(Ⅲ) 從年齡在24和26的工人中隨機抽取2人,求這2人均是24歲的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

18.如圖甲,在平面四邊形ABCD中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC=105°,AB=BD,現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如圖乙),設點E、F分別為棱AC、AD的中點.
(1)求證:DC⊥平面ABC;
(2)設CD=1,求三棱錐A-BFE的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

15.如圖,平面四邊形ABCD與BDEF均為菱形,∠DAB=∠DBF=60°,且FA=FC.
(1)求證:AC⊥平面BDEF;
(2)求證:FC∥平面EAD.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

16.定義在R上的函數(shù)f(x)在(6,+∞)上為增函數(shù),且函數(shù)y=f(x+6)為偶函數(shù),則( �。�
A.f(4)<f(7)B.f(4)>f(7)C.f(5)>f(7)D.f(5)<f(7)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案