分析 (1)由a2c−a=2,e=ca=12,求得a和c的值,b2=a2-c2,即可求得橢圓C的標準方程;
(2)由(1)可知:直線l的方程為y=x+1,代入橢圓方程,由韋達定理及弦長公式即可求得△ABF2的面積;
(3)設直線l的方程為x=my-1,代入橢圓方程,利用韋達定理,弦長公式及函數(shù)的單調(diào)性記錄求得△ABF2的面積的最大值.
解答 解:(1)由題意可知:a2c−a=2,e=ca=12,解得:a=2,c=1,
b2=a2-c2=3,
∴橢圓的標準方程:x24+y23=1;
(2)直線l的方程為y=x+1,
則{y=x+1x24+y23=1,整理得:7y2-6y-9=0,
則y1+y2=67,y1•y2=-97,
丨y1-y2丨=√(y1+y2)2−4y1y2=12√27,
∴三角形ABF2 的面積S=12×2c×丨y1-y2丨=12√27;
三角形ABF2 的面積12√27;
(3)當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為x=my-1,
{x=my−13x2+4y2−12=0,整理得(3m2+4)y2-6my-9=0,
由韋達定理可知:y1+y2=6m3m2+4,y1•y2=-93m2+4,
丨y1-y2丨=√(y1+y2)2−4y1y2=12√m2+13m2+4,
設t=√m2+1t≥1,則m2=t2-1,
丨y1-y2丨=12√m2+13m2+4=12t3t2+1=123t+1t,
f(t)=3t+1t,f′(t)=3-1t2>0,函數(shù)f(t)單調(diào)遞增,
則當t=1時,丨y1-y2丨有最大值3,
故三角形ABF2的面積的最大值為S=12×2c×丨y1-y2丨max=3,
綜合可知:△ABF2 的面積的最大值.
點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì),考查韋達定理,弦長公式及函數(shù)的單調(diào)性,最值與圓錐曲線的綜合應用,考查計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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年齡(歲) | 19 | 24 | 26 | 30 | 34 | 35 | 40 | 合計 |
工人數(shù)(人) | 1 | 3 | 3 | 5 | 4 | 3 | 1 | 20 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | f(4)<f(7) | B. | f(4)>f(7) | C. | f(5)>f(7) | D. | f(5)<f(7) |
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