Question

8．已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-4，0）的動(dòng)直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)G：x²=2py（p＞0）相交于B、C，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率是$\frac{1}{2}$時(shí)，$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$．
（Ⅰ）求拋物線(xiàn)G的方程；
（Ⅱ）設(shè)線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出B，C的坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式求得直線(xiàn)l的方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立消去x，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，由$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$．根據(jù)求得y₂=4y₁，最后聯(lián)立方程求得y₁，y₂和p，則拋物線(xiàn)的方程可得．
（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程，AB中點(diǎn)坐標(biāo)，把直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用判別式求得k的范圍，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂，進(jìn)而求得x₀，利用直線(xiàn)方程求得y₀，進(jìn)而可表示出AB的中垂線(xiàn)的方程，求得其在y軸上的截距，根據(jù)k的范圍確定b的范圍．

解答 解：（Ⅰ）直線(xiàn)l的斜率是$\frac{1}{2}$時(shí)，直線(xiàn)BC的方程為：x=2y-4，設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{x=2y-4}\end{array}\right.$，整理得：2y²-（8+p）y+8=0，
由韋達(dá)定理可知：y₁+y₂=$\frac{8+p}{2}$，y₁•y₂=4，
由$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$．則y₁=4y₂，
由p＞0，解得：y₁=1，y₂=4，
∴p=2，
∴拋物線(xiàn)G：x²=4y；
（Ⅱ）設(shè)l：y=k（x+4），BC中點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀）
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=k（x+4）}\end{array}\right.$，整理得：x²-4kx-16k=0，
∴由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=2k，則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2k．則y₀=k（x₀+4）=2k²+4k，
∴BC的中垂線(xiàn)方程為y-（2k²+4k）=-$\frac{1}{k}$（x-2k），
∴BC的中垂線(xiàn)在y軸上的截距為：b=2k²+4k+2=2（k+1）²，
對(duì)于方程由△=16k²+64k＞0，解得：k＞0或k＜-4．
∴b的取值范圍（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題．考查判別式和韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．