已知點P在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為
4
5
3
和
2
5
3
，過點P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點，則該橢圓的方程為
x2
5
+
y2
10
3
=1或
y2
5
+
x2
10
3
=1
x2
5
+
y2
10
3
=1或
y2
5
+
x2
10
3
=1
．
分析：設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)形式，由P到兩焦點的距離得到2a=
4
5
3
+
2
5
3
=2
5
，得a=5．根據(jù)過P且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點，利用勾股定理列式解出c的值，進(jìn)而可求得橢圓的方程．
解答：解：當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時，設(shè)所求的橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
由已知條件得
2a=
4
5
3
+
2
5
3
(2c)2=(
4
5
3
)2-(
2
5
3
)2
，
解之得a=
5
，c=
15
3
，b2=
10
3
，可得橢圓方程為
x2
5
+
y2
10
3
=1，
同理可得：當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，橢圓的方程為
y2
5
+
x2
10
3
=1．
故答案為：
x2
5
+
y2
10
3
=1或
y2
5
+
x2
10
3
=1．
點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．
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