Question

已知函數f（x）的定義域[-1，5]，部分對應值如表

x	-1	0	4	5
f（x）	1	2	2	1

f（x）的導函數y=f′（x）的圖象如圖所示
下列關于函數f（x）的命題；
①函數f（x）的值域為[1，2]；
②函數f（x）在[0，2]上是減函數；
③如果當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；
④當1＜a＜2時，函數y=f（x）-a有4個零點．
其中真命題為

②

（填寫序號）

Answer 1

分析：觀察函數y=f′（x）的圖象知：求出極值點，比較端點值，可以求出值域；在區(qū)間[-1，0）和（2，4）內，f′（x）＞0，在（0，2）上是減函數，由此能求出f（x）的單調遞增區(qū)間；結合函數的圖象和表格知：函數f（x）的定義域[-1，5]內，在x=0處取極大值f（0）=2，在x=2處取極小值f（2），在x=4處取極大值f（4）=2，再由f（-1）=1．f（5）=1，由此即可求出f（x）的最值；根據函數的單調性求出了f（x）的值域y=f（x）-a有零點，得f（x）=a，根據a的范圍進行判斷；

解答：解：∵f（x）的導函數y=f′（x）的圖象如圖所示：
∴觀察圖象知：在區(qū)間[-1，0）和（2，4）內，f′（x）＞0，f（x）的單調遞增區(qū)間是[-1，0]和[2，4]；

在（0，2）和（4，5）有f′（x）＞0，f（x）為減函數；
故②正確；
兩個極大值點：
結合函數的圖象知：函數f（x）的定義域[-1，5]內，
在x=0處取極大值f（0）=2，
在x=2處取極小值f（2），
在x=4處取極大值f（4）=2，
又∵f（-1）=1．f（5）=1，
∴f（x）的最大值是2．最小值為f（2），故①錯誤；
當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為：t=5，故③錯誤；
求函數y=f（x）-a的零點：可得f（x）=a，因為不知最小值的值，無法進行判斷，故④錯誤；
故答案為②；

點評：本題考查函數的單調區(qū)間和極大值的求法，解題時要認真審題，仔細觀察圖象，熟練掌握導數的應用．