定義:S為R的真子集,?x,y∈S,若x+y∈S,x-y∈S,則稱S對加減法封閉.有以下四個命題,請判斷真假:
①自然數(shù)集對加減法封閉;
②有理數(shù)集對加減法封閉;
③若有理數(shù)集對加減法封閉,則無理數(shù)集也對加減法封閉;
④若S1,S2為R的兩個真子集,且對加減法封閉,則必存在c∈R,使得c∉S1∪S2;
四個命題中為“真”的是
②④
②④
.(填寫序號)
分析:根據(jù)集合S對加減法封閉的定義,舉出反例可以說明①③不正確.再結(jié)合有理數(shù)的定義與性質(zhì),可證出②正確,最后通過舉例說明命題④是正確的,從而得出正確答案.
解答:解:對于①,因為存在x=1,y=2∈N,使x-y=-1∉N,故自然數(shù)集對減法不封閉,所以①不正確;
對于②,因為?x,y∈Q,有x+y∈Q且x-y∈Q成立,故則有理數(shù)對加減法封閉,故②正確;
對于③,由前面的討論知有理數(shù)集對加減法封閉,而存在x=
2
,y=-
2
∈{無理數(shù)},使x+y=0∉{無理數(shù)},
故無理數(shù)集對加減法不封閉,所以③不正確;
對于④,可設(shè)S1=Z,S2=Q,它們是R的兩個真子集,且對加減法封閉,存在c=
2
∈R,且
2
∉S1∪S2,故④正確.
故答案為:②④
點評:本題以命題真假的判斷為載體,考查我們對運算封閉性的理解,著重對自然數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)的運算性質(zhì)進行了考查,屬于基礎(chǔ)題.
練習冊系列答案
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定義:S為R的真子集,?x,y∈S,若x+y∈S,x-y∈S,則稱S對加減法封閉.有以下四個命題,請判斷真假:
①自然數(shù)集對加減法封閉;
②有理數(shù)集對加減法封閉;
③若有理數(shù)集對加減法封閉,則無理數(shù)集也對加減法封閉;
④若S1,S2為R的兩個真子集,且對加減法封閉,則必存在c∈R,使得c∉S1∪S2;
四個命題中為“真”的是    .(填寫序號)

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科目:高中數(shù)學 來源:2012年湖北省孝感高中高三5月數(shù)學練習題1(文科)(解析版) 題型:解答題

定義:S為R的真子集,?x,y∈S,若x+y∈S,x-y∈S,則稱S對加減法封閉.有以下四個命題,請判斷真假:
①自然數(shù)集對加減法封閉;
②有理數(shù)集對加減法封閉;
③若有理數(shù)集對加減法封閉,則無理數(shù)集也對加減法封閉;
④若S1,S2為R的兩個真子集,且對加減法封閉,則必存在c∈R,使得c∉S1∪S2
四個命題中為“真”的是    .(填寫序號)

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科目:高中數(shù)學 來源:2012年湖北省高考數(shù)學壓軸卷(文科)(解析版) 題型:解答題

定義:S為R的真子集,?x,y∈S,若x+y∈S,x-y∈S,則稱S對加減法封閉.有以下四個命題,請判斷真假:
①自然數(shù)集對加減法封閉;
②有理數(shù)集對加減法封閉;
③若有理數(shù)集對加減法封閉,則無理數(shù)集也對加減法封閉;
④若S1,S2為R的兩個真子集,且對加減法封閉,則必存在c∈R,使得c∉S1∪S2;
四個命題中為“真”的是    .(填寫序號)

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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年山東省菏澤市鄄城實驗中學高三(下)雙周適應性訓練數(shù)學試卷2(文科)(解析版) 題型:解答題

定義:S為R的真子集,?x,y∈S,若x+y∈S,x-y∈S,則稱S對加減法封閉.有以下四個命題,請判斷真假:
①自然數(shù)集對加減法封閉;
②有理數(shù)集對加減法封閉;
③若有理數(shù)集對加減法封閉,則無理數(shù)集也對加減法封閉;
④若S1,S2為R的兩個真子集,且對加減法封閉,則必存在c∈R,使得c∉S1∪S2;
四個命題中為“真”的是    .(填寫序號)

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