Question

9．已知S是數(shù)集，若對(duì)任意a、b∈S都有a+b、a-b，ab、$\frac{a}$（b≠0）∈S，則稱S是數(shù)域．下列四個(gè)數(shù)集中，數(shù)域的個(gè)數(shù)是（　�。�
①整數(shù)集Z；②有理數(shù)集Q；③實(shí)數(shù)集R；④數(shù)集F={a+$\sqrt{2}$b|a，b∈Q}．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)已知中數(shù)域的定義：設(shè)S是一個(gè)數(shù)集，對(duì)任意a、b∈S，都有a+b、a-b、ab、$\frac{a}$∈S（除數(shù)b≠0）則稱S是一個(gè)數(shù)域，對(duì)四個(gè)命題逐一進(jìn)行判斷即可得出正確的結(jié)論．

解答 解：對(duì)于①整數(shù)集Z，令a=1、b=2，則a、b∈Z，但$\frac{a}$∉Z，∴Z不是數(shù)域；
對(duì)于②有理數(shù)集Q，任取a、b∈Q，都有a+b、a-b，ab、$\frac{a}$（b≠0）∈Q，∴Q是數(shù)域；
對(duì)于③實(shí)數(shù)集R，任取a、b∈R，都有a+b、a-b，ab、$\frac{a}$（b≠0）∈R，∴R是數(shù)域；
對(duì)于④數(shù)集F={a+$\sqrt{2}$b|a，b∈Q}，任取x、y∈F，
都有x+y=（a₁+$\sqrt{2}$b₁）+（a₂+$\sqrt{2}$b₂）=（a₁+a₂）+（b₁+b₂）$\sqrt{2}$∈F，
x-y=（a₁+$\sqrt{2}$b₁）-（a₂+$\sqrt{2}$b₂）=（a₁-a₂）+（b₁-b₂）$\sqrt{2}$∈F，
xy=（a₁+$\sqrt{2}$b₁）×（a₂+$\sqrt{2}$b₂）=（a₁a₂+2b₁b₂）+（a₂b₁+a₁b₂）$\sqrt{2}$∈F，
$\frac{x}{y}$=（a₁+$\sqrt{2}$b₁）÷（a₂+$\sqrt{2}$b₂）=$\frac{{{a}_{1}a}_{2}-{{2b}_{1}b}_{2}}{{{a}_{2}}^{2}-{{2b}_{2}}^{2}}$+$\frac{{{a}_{2}b}_{1}{{-2a}_{1}b}_{2}}{{{a}_{2}}^{2}-{{2b}_{2}}^{2}}$$\sqrt{2}$∈F，∴F是數(shù)域；
綜上，②③④是數(shù)域．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義概念的理解能力與應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)要對(duì)新定義理解到位，是易錯(cuò)題．