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12.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2an-1.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)記bn=log2an,求數(shù)列{anbn}的前n項和為Tn

分析 (Ⅰ)分n=1與n≥2討論,從而確定數(shù)列{an}是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,從而解得;
(Ⅱ)化簡bn=log2an=n-1,令cn=anbn,從而可得cn=2n1n1,從而利用錯位相減法求其前n項和.

解答 解:(Ⅰ)當(dāng)n=1時,由S1=2a1-1得,
a1=1;
當(dāng)n≥2時,Sn=2an-1,Sn-1=2an-1-1,
故an=2an-2an-1,
故an=2an-1,
故數(shù)列{an}是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,
則an=2n-1
(Ⅱ)bn=log2an=n-1,
令cn=anbn,
cn=2n1n1,
故Tn=0•20+1•21+2•22+3•23+4•24+…+(n-1)2n-1
2Tn=0×21+1×22+2×23++n22n1+n12n,
兩式相減得,
Tn=0+21+22++2n1n12n=212n112n12n=-2+2n+1-n•2n
Tn=n2n2n+1+2

點評 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及錯位相減法的應(yīng)用,同時考查了學(xué)生的化簡運算能力.

練習(xí)冊系列答案
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 贊成禁放不贊成禁放合計
老年人60140200
中青年人80120200
合計140260400
(I)有多大的把握認(rèn)為“是否贊成禁放煙花爆竹”與“年齡結(jié)構(gòu)”有關(guān)?請說明理由;
(Ⅱ)從上述不贊成禁放煙花爆竹的市民中按年齡結(jié)構(gòu)分層抽樣出13人,再從這13人中隨機(jī)的挑選2人,了解它們春節(jié)期間在煙花爆竹上消費的情況.假設(shè)老年人花費500元左右,中青年人花費1000元左右.用 X表示它們在煙花爆竹上消費的總費用,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:{K^2}=\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}
P(k2>k00.0500.0250.010
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