Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x，-2≤x≤-1}\\{ln（x+2），-1＜x≤2}\end{array}\right.$，若g（x）=f（x）-a（x+2）的圖象與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （0，$\frac{1}{3e}$）
• C． [$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$）
• D． [$\frac{2ln2}{3}$，$\frac{1}{3e}$）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f（x）與h（x）=a（x+2）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：由g（x）=f（x）-a（x+2）=0得f（x）=a（x+2），
作出函數(shù)f（x）與h（x）=a（x+2）的圖象如圖
∵h(yuǎn)（x）=a（x+2）過點(diǎn)（-2，0），
當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=ln4，此時(shí)A（2，ln4），
當(dāng)h（x）過A時(shí)，4a=ln4，得a=$\frac{ln4}{4}$=$\frac{2ln2}{4}$=$\frac{ln2}{2}$，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)h（x）與f（x）在-1＜x≤2相切時(shí)，h（x）=ln（x+2），
則h′（x）=$\frac{1}{x+2}$，設(shè)切點(diǎn)為（m，ln（m+2）），
則切線斜率k=k=h′（m）=$\frac{1}{m+2}$，
則切線方程為y-ln（m+2）=$\frac{1}{m+2}$（x-m），
即y=$\frac{1}{m+2}$•x+ln（m+2）-$\frac{m}{m+2}$，
∵切線過（-2，0），
-2•$\frac{1}{m+2}$+ln（m+2）-$\frac{m}{m+2}$=0
即ln（m+2）=$\frac{m}{m+2}$+$\frac{2}{m+2}$=1，
則m+2=e，即m=e-2，
此時(shí)a=h′（e-2）=$\frac{1}{e}$，此時(shí)兩曲線有2個(gè)交點(diǎn)，
∴若g（x）=f（x）-a（x+2）的圖象與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
則$\frac{ln2}{2}$≤a＜$\frac{1}{e}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．