Question

如，四邊形ABCD是邊長為a的正方形，PD⊥平面ABCD，MA∥PD，E，F(xiàn)，G分別為MB，PC，PB的中點(diǎn)，且AD=PD=2MA．
（1）求證：平面EFG⊥平面PDC；
（2）求三棱錐P-MAB與四棱錐P-ABCD的體積之比．

Answer 1

分析：（1）要證平面EFG⊥平面PDC，只需在平面EFG內(nèi)找一直線與平面PDC垂直，而根據(jù)線面垂直的判定定理可知GF⊥平面PDC，GF∈平面EFG，滿足定理條件，即可得證；（2）設(shè)MA=1，求出PD=AD，得到V_p-ABCD=

1

3

S_{正方形ABCD}•PD，求出PD，根據(jù)DA⊥面MAB，可得DA即為點(diǎn)P到平面MAB的距離，根據(jù)三棱錐的體積公式求出體積得到V _P-MAB：V _P-ABCD的比值．

解答：（1）證明：由已知PD⊥平面ABCD，
因?yàn)锽C∈平面ABCD，所以PD⊥BC，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BC⊥CD，
又PD∩DC=D，所以BC⊥平面PDC，
在△PBC中，因?yàn)镚、F分別是PB、PC中點(diǎn)，
所以GF∥BC，故GF⊥平面PDC，又GF∈平面EFG，
所以平面EFG⊥平面PDC；
（2）因?yàn)镻D⊥平面ABCD，
四邊形ABCD為正方形，不妨設(shè)MA=1，
則PD=AD=2，所以V_p-ABCD=

1

3

S_{正方形ABCD}•PD=

8

3

，
由于DA⊥面MAB，所以DA即為點(diǎn)P到平面MAB的距離，
所以三棱錐Vp-MAB=

1

3

×

1

2

×1×2×2=

2

3

，
所以V _P-MAB：V _P-ABCD=1：4．

點(diǎn)評：本題考查空間中的線面關(guān)系，考查線面垂直、面面垂直的判定及幾何體體積的計算，考查試圖能力和邏輯思維能力．