Question

如圖，AB是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，A為切點，點C為圓上一點，AC⊥OP．
（Ⅰ）求證：△ABC∽△POA．
（Ⅱ）若⊙O的直徑為10，BC=6，求PA的長．

Answer 1

分析：（I）由已知中AB是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，結(jié)合圓周角定理的推論2，及弦切角定理，得到兩個三角形中的兩組對應(yīng)角相等，進而得到兩個三角形相似；
（II）由（1）的結(jié)論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，我們易得到兩個三角形中對應(yīng)邊成比例，將⊙O的直徑為10，BC=6，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，又∵AC⊥OP，∴OP∥BC
∴∠AOP=∠ABC∵PA是⊙O的切線，∴∠OAP=90°=∠ACB
∴△ABC∽△POA
（Ⅱ）∵△ABC∽△POA
∴

PA

AC

=

OA

BC

，
∴PA=

5×8

6

=

20

3

點評：本題考查的知識點是三角形相似的判定與性質(zhì)，其中根據(jù)已知條件，結(jié)合圓周角定理的推論2，及弦切角定理，得到兩個三角形中的兩組對應(yīng)角相等，進而得到兩個三角形相似，是解答本題的關(guān)鍵．