Question

8．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的最小值是-1，最小正周期為2π，其圖象經(jīng)過點M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知f（α+β）=-$\frac{3}{5}$，f（α-β）=$\frac{4}{5}$，求tanαtanβ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意可求A，T，利用周期公式可求ω，由sin（$\frac{π}{3}$+φ）=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍0＜φ＜π，求得φ，從而可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式可求cosαcosβ，sinαsinβ的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanαtanβ的值．

解答 解：（Ⅰ）依題意有A=1，T=2π=$\frac{2π}{ω}$，解得：ω=1，
則f（x）=sin（x+φ），…（2分）
將點M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$）代入得sin（$\frac{π}{3}$+φ）=$\frac{1}{2}$，
而0＜φ＜π，
∴$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{5π}{6}$，
∴φ=$\frac{π}{2}$，…（4分）
故f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx，…（6分）
（Ⅱ）依題意有cos（α+β）=-$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=$\frac{4}{5}$，
所以cosαcosβ-sinαsinβ=-$\frac{3}{5}$，cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{4}{5}$，…（8分）
所以cosαcosβ=$\frac{1}{10}$，sinαsinβ=$\frac{7}{10}$，
因此tanαtanβ=7．…（12分）

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．