Question

某廠家研發(fā)甲、乙兩種產(chǎn)品準(zhǔn)備試產(chǎn)，經(jīng)調(diào)研，生產(chǎn)甲產(chǎn)品需固定成本100萬元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，成本增加1萬元，每件銷售價(jià)格p（萬元/件）與產(chǎn)量x（件）滿足關(guān)系p=25；乙產(chǎn)品的利潤L（萬元）與成本t（萬元）的關(guān)系為L=現(xiàn)有資金200萬元，所生產(chǎn)的產(chǎn)品都能銷售出去，并且甲產(chǎn)品必須生產(chǎn)．
（I）要使甲產(chǎn)品的利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品多少件；
（Ⅱ）若資金全部投入生產(chǎn)，如何分配對(duì)甲、乙的投資，能使廠家獲得的利潤最大？

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)f（x）表示生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件的利潤，則f（x）=px-100-x=（25-）x-100-x==，x必須滿足解得0＜x≤100．
∴x∈（0，100]，因此當(dāng)x=96時(shí)，f（x）取得最大值，f（96）=1052．
（Ⅱ）設(shè)200萬元資金中的x萬元用于生產(chǎn)乙產(chǎn)品，則（200-x）萬元用于生產(chǎn)甲產(chǎn)品（至多只生產(chǎn)甲產(chǎn)品200-x-100=100-x件，∵甲產(chǎn)品必須生產(chǎn)，∴0≤x＜100）．
設(shè)g（x）表示廠家獲得的利潤，則g（x）=，
①當(dāng)0≤x≤4時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，∴x=4，g（x）取得最大值g（4）=1052；
②當(dāng)4＜x＜100時(shí)，g（x）=80lnx-，則=，
令g^′（x）=0，解得x=20．
當(dāng)4＜x＜20時(shí)，g^′（x）＞0，函數(shù)g（x）在區(qū)間（4，20）上單調(diào)遞增；當(dāng)20＜x＜100時(shí)，g^′（x）＜0，函數(shù)g（x）在區(qū)間（4，20）上單調(diào)遞減．
∴g（x）在x=20取得最大值，且g（20）=80ln20+1020．
∵g（20）-g（4）=80ln20-32＞80-32＞0，
∴當(dāng)x=20時(shí)，能使廠家獲得的利潤最大．即把20萬元用于生產(chǎn)乙產(chǎn)品，把180萬元用于生產(chǎn)甲產(chǎn)品，能使廠家獲得最大利潤為80ln20+1020萬元．
分析：（Ⅰ）先求出生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件的利潤表達(dá)式，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（Ⅱ）先得出廠家獲得利潤的函數(shù)表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性即可得出最大值．
點(diǎn)評(píng)：正確列出函數(shù)的表達(dá)式，熟練掌握二次函數(shù)的單調(diào)性和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．