Question

8．已知函數(shù)f（x）是一次函數(shù)，它的圖象過(guò)點(diǎn)（3，5），又f（2），f（5），15成等差數(shù)列．若數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n=f（n）（n∈N，n＞0）．
（I）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，求S₂₀₁₆．
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b_n=a_n•${2^{\frac{{{a_n}+1}}{2}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

分析 （I）通過(guò)聯(lián)立方程組可求出k=2、b=-1，進(jìn)而利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過(guò)（I）可知b_n=（2n-1）2ⁿ，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（I）由題可設(shè)f（x）=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}3k+b=5\\ 2k+b+15=2（5k+b）\end{array}\right.$，
解得：k=2，b=-1，
所以a_n=2n-1，a₁=1，a₂₀₁₆=4031，
故${S_{2016}}=\frac{1+4031}{2}×2016={2016^2}=4064256$；
（Ⅱ）由（I）得：${b_n}=（2n-1）•{2^{\frac{（2n-1）+1}{2}}}=（2n-1）•{2^n}$，
則T_n=1×2¹+3×2²+…+（2n-1）2ⁿ，
$2{T_n}=1×{2^2}+3×{2^3}+…+（2n-1）•{2^{n+1}}$，
兩式相減，得：$-{T_n}=2+2×{2^2}+…+2•{2^n}-（2n-1）•{2^{n+1}}$
=2（2+2²+…+2ⁿ）-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=4（2ⁿ-1）-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
所以${T_n}=（2n-3）•{2^{n+1}}+6$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯(cuò)位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．